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[高等代数] 矩阵

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发表于 2017-11-9 18:59:47 | 显示全部楼层 |阅读模式
定义 由$sn$个数排成的$s$行(横的)$n$列(纵的)的表
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{s1}&a_{s2}&\cdots&a_{sn} \end{array}} \right) $$
称为一个$s \times n$矩阵。

  数$a_{ij}$,$i=1,2,\cdots,s$,$j=1,2,\cdots,n$,称为矩阵的元素,$i$称为元素$a_{ij}$的行指标,$j$称为列指标。当一个矩阵的元素全是某一数域$P$中的数时,它就称为这一数域$P$上的矩阵。
  $n \times n$矩阵也称$n$级方阵。一个$n$级方阵
$$A= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{n n} \end{array}} \right) $$
  讨论$m \times n$矩阵
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{array}} \right) $$
  常用大写英文黑体字母来表示矩阵,如$A$,$B$,$C$,$\cdots$,$X$等。元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵。
  当两个矩阵的行数相等,列数也相等时,称它们为同型矩阵。如果矩阵$A=(a_{ij})_{m \times n}$,$B=(b_{ij})_{m \times n}$是同型矩阵,且它们的对应元素相等,即
$$a_{ij}=b_{ij}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)$$
则称矩阵$A$与$B$相等,并记作$A=B$。

  下面一些特殊矩阵是经常遇到的矩阵。
1、只有一行的矩阵$\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$叫做行矩阵,又叫做行向量。
2、只有一列的矩阵$\beta= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n \end{array}} \right) $叫做列矩阵,又叫做列向量。这种矩阵以后经常用小写希腊字母,如$\alpha$,$\beta$,$\cdots$等表示。
3、元素都为零的矩阵称为零矩阵,$m \times n$零矩阵记作$O_{m \times n}$或$O$。注意,不同型的零矩阵是不相同的。
4、若$m=n$,则称$A=(a_{ij})_{n \times n}$为$n$阶矩阵,也叫$n$阶方阵。在$n$阶方阵中,从左上角到右下角的连线称为主对角线,或简称对角线。元素$a_{11}$,$a_{22}$,$\cdots$,$a_{n n}$位于主对角线上。
5、在$n$阶矩阵中,若主对角线左下方所有元素全为零(即$r_{ik}=0$,其中$i>k$),即
$$R= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} r_{11}&r_{12}&\cdots&r_{1n}\\ 0&r_{22}&\cdots&r_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&\cdots&r_{n n} \end{array}} \right) $$
则称$R$为上三角形矩阵,简称为上三角阵。同理可定义下三角阵为
$$L= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} l_{11}&0&\cdots&0\\ l_{21}&l_{22}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ l_{n1}&l_{n2}&\cdots&l_{n n} \end{array}} \right) (这里l_{ik}=0,其中i<k)$$
6、除对角线上元素外其他元素全为零的$n$阶方阵称为对角阵,即
$$D= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} d_1&0&\cdots&0\\ 0&d_2&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&\cdots&d_n \end{array}} \right) $$
此对角阵既是上三角阵又是下三角阵,可简记为
$$D={\rm diag}(d_1,d_2,\cdots,d_n)$$
  特别地,主对角线上元素全相等的对角阵称之为数量矩阵。
  在对角阵中,若$d_1=d_2=\cdots=d_n=1$,即
$$E_n= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&\cdots&0\\ 0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&\cdots&1 \end{array}} \right) $$
则称之为单位矩阵,记为$E$。有时候为了突出单位矩阵的阶数,将$n$阶单位矩阵记为$E_n$。
  另外,只有一行一列的一阶方阵实际上是一个数。
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