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[高等代数] 整除

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发表于 2017-11-9 18:13:08 | 显示全部楼层 |阅读模式
  在一元多项式环中,可以作加、减、乘三种运算,但是乘法的逆运算——除法——并不是普遍可以做的。因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系。

带余除法 对于$P[x]$中任意两个多项式$f(x)$与$g(x)$,其中$g(x) \ne 0$,一定有$P[x]$中的多项式$q(x)$,$r(x)$存在,使
$$f(x)=q(x)g(x)+r(x)$$
  成立,其中$\partial (r(x))<\partial (g(x))$或者$r(x)=0$,并且这样的$q(x)$,$r(x)$是唯一决定的。

  带余除法中所得的$q(x)$通常称为$g(x)$除$f(x)$的商,$r(x)$称为$g(x)$除$f(x)$的余式。

定义 数域$P$上的多项式$g(x)$称为整除$f(x)$,如果有数域$P$上的多项式$h(x)$使等式
$$f(x)=g(x)h(x)$$
  成立。我们用“$g(x) \mid f(x)$”表示$g(x)$整除$f(x)$,用“$g(x) \not \mid f(x)$”表示$g(x)$不能整除$f(x)$。

  当$g(x) \mid f(x)$时,$g(x)$就称为$f(x)$的因式,$f(x)$称为$g(x)$的倍式。
  当$g(x) \ne 0$时,带余除法给出了整除性的一个判别法。

定理 对于数域$P$上的任意两个多项式$f(x)$,$g(x)$,其中$g(x) \ne 0$,$g(x) \mid f(x)$的充分必要条件是$g(x)$除$f(x)$的余式为零。

  带余除法中,$g(x)$必须不为零。但$g(x) \mid f(x)$中,$g(x)$可以为零。这时$f(x)=g(x) \cdot h(x)=0 \cdot h(x)=0$。
  当$g(x) \mid f(x)$时,如$g(x) \ne 0$,$g(x)$除$f(x)$所得的商$q(x)$有时也用
$$\frac{f(x)}{g(x)}$$
  来表示。
  由定义还可看出,任一个多项式$f(x)$一定整除它自身,即$f(x) \mid f(x)$,因为$f(x)=1 \cdot f(x)$;任一个多项式$f(x)$都整除零多项式$0$,因为$0=0 \cdot f(x)$;零次多项式,也就是非零常数,能整除任一个多项式,因为当$a \ne 0$时,$f(x)=a(a^{-1}f(x))$。

  下面介绍整除性的几个常用的性质:
1、如果$f(x) \mid g(x)$,$g(x) \mid f(x)$,那么$f(x)=cg(x)$,其中$c$为非零常数。
2、如果$f(x) \mid g(x)$,$g(x) \mid f(x)$,那么$f(x) \mid h(x)$(整除的传递性)。
3、如果$f(x) \mid g_i(x)$,$i=1,2,\cdots,r$,那么
$$f(x) \mid (u_1(x)g_1(x)+u_2(x)g_2(x)+\cdots+u_r(x)g_r(x)),$$
  其中$u_i(x)$是数域$P$上的任意的多项式。

  通常$u_1(x)g_1(x)+u_2(x)g_2(x)+\cdots+u_r(x)g_r(x)$称为多项式$g_1(x)$,$g_2(x)$,$\cdots$,$g_i(x)$的一个组合。
  由以上的性质可以看出,多项式$f(x)$与它的任一个非零常数倍$cf(x)$($c \ne 0$)有相同的因式,也有相同的倍式。因之,在多项式整除性的讨论中,$f(x)$常常可以用$cf(x)$来代替。
  最后我们指出,两个多项式之间的整除关系不因为系数域的扩大而改变。也就是说,如果$f(x)$,$g(x)$是$P[x]$中两个多项式,$\overline P$是包含$P$的一个较大的数域。当然,$f(x)$,$g(x)$也可以看成是$\overline {P[x]}$中的多项式。从带余除法可以看出,不论把$f(x)$,$g(x)$看成是$P[x]$中或者是$\overline {P[x]}$中的多项式,用$g(x)$去除$f(x)$所得的商式及余式都是一样的。因此,如果在$P[x]$中$g(x)$不能整除$f(x)$,那么在$\overline {P[x]}$中,$g(x)$也不能整除$f(x)$。
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