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[数学分析] 行列式符号的几何解释

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发表于 2017-11-8 23:10:23 | 显示全部楼层 |阅读模式
  讨论直角坐标为$(x_1,x_2,x_3)$的三维空间,沿轴$Ox_1$,$Ox_2$,$Ox_3$的单位向量为$i_1(1,0,0)^T$,$i_2(0,1,0)^T$,$i_3=(0,0,1)^T$,它们的行列式为
$$ \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right|=1(>0)。$$
  在此空间中给定三向量$a=(a_1,a_2,a_3)^T$,$b=(b_1,b_2,b_3)^T$,$c=(c_1,c_2,c_3)^T$,它们的分量组成的行列式不等于零,即
$$\Delta= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a_1&b_1&c_1\\ a_2&b_2&c_2\\ a_3&b_3&c_3 \end{array}} \right| \ne 0。$$

命题 若$\Delta>0$,我们可以定义三个连续的向量值函数
$$\alpha(t)=(\alpha_1(t),\alpha_2(t),\alpha_3(t))^T,\beta(t)=(\beta_1(t),\beta_2(t),\beta_3(t))^T,\gamma(t)=(\gamma_1(t),\gamma_2(t),\gamma_3(t))^T$,$(0 \le t \le 1),$$
  它们满足$\alpha(0)=a$,$\beta(0)=b$,$\gamma(0)=c$,$\alpha(1)=i_1$,$\beta(1)=i_2$,$\gamma(1)=i_3$,而且对任意的$t \in [0,1]$,行列式
$$\Delta(t)= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \alpha_1(t)&\beta_1(t)&\gamma_1(t)\\ \alpha_2(t)&\beta_2(t)&\gamma_2(t)\\ \alpha_3(t)&\beta_3(t)&\gamma_3(t) \end{array}} \right| >0。$$

  若$\Delta<0$,则不可能构造三个具有上述性质的连续的向量函数。
  从定向意义看,在$\Delta>0$的情况下,三个有序的向量$a$,$b$,$c$的方向可以看作与$i_1$,$i_2$,$i_3$这三个向量的方向相同;在$\Delta<0$的情况下,$a$,$b$,$c$三向量方向可以看作与$i_1$,$i_2$,$i_3$的方向相反。


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