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[数学分析] 外积与微分形式

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发表于 2017-11-8 23:09:46 | 显示全部楼层 |阅读模式
  在已有微分的加法和数乘运算之外,再定义微分之间的乘法运算,称为外积
  在三维空间中$dx$,$dy$,$dz$可看作此空间中向量,可定义外积,如$dx$与$dy$的外积记为$dx \wedge dy$。
  我们称三维空间中自变量微分$dx$,$dy$,$dz$为基本一次微分形式,两个基本一次微分形式的外积$dx \wedge dy$,$dy \wedge dz$,$dz \wedge dx$称为是基本二次微分形式,它们满足以下运算律:
1、$k(dx \wedge dy)=kdx \wedge dy$(其中$k$为实数);
2、$dx \wedge (dy+dz)=dx \wedge dy+dx \wedge dz$(乘法关于加法的分配律);
3、$dx \wedge dy=-dy \wedge dx$(反交换律);
4、$dx \wedge dx=dy \wedge dy=dz \wedge dz=0$。
  三个基本一次微分形式的连乘外积$dx \wedge dy \wedge dz$,称为基本三次微分形式,并满足以下结合律,即
$$dx \wedge (dy \wedge dz)=(dx \wedge dy) \wedge dz。$$
  根据上述运算律可推得如下性质:
(i)任何三个不同的基本一次微分形式连乘外积有两种情况:
(a)运用反交换律偶数次后,连乘外积按顺序$dx$,$dy$,$dz$排列,则原来连乘外积等于$dx \wedge dy \wedge dz$。
(b)运用反交换律奇数次后,连乘外积按顺序$dx$,$dy$,$dz$排列,则原来连乘外积与$dx \wedge dy \wedge dz$只相差一个符号。
(ii)在三个基本一次微分形式连乘外积中若有两个相同,则其值为零。
(iii)在三维空间中三个以上基本一次微分形式的连乘外积都等于零,因为其中至少有一个基本一次微分形式要重复出现一次。
  从几何意义上说,三维空间中的基本一次微分形式$dx$,$dy$,$dz$可理解为空间中有向线段微分,基本二次微分形式$dx \wedge dy$,$dy \wedge dz$,$dz \wedge dx$则是有向面积微元,而基本三次微分形式$dx \wedge dy \wedge dz$则是有向体积微元,它们与过去积分学中$dx$,$dxdy$和$dxdydz$的差别,在于新定义的微元有正,有负,而且与微元的定向有关。
  设$F$,$P$,$Q$,$R$为三维空间中的函数,下列各式:
$$w^0=F,$$
$$w^1=Pdx+Qdy+Rdz,$$
$$w^2=Pdy \wedge dz+Qdz \wedge dx+Rdx \wedge dy,$$
$$w^3=Fdx \wedge dy \wedge dz$$
  分别称为三维空间中零次、一次、二次、三次微分形式
  按照外积的运算律和性质,可对微分形式进行外积运算,如
$$w_1^1 \wedge w_2^1=(P_1dx+Q_1dy+R_1dz) \wedge (P_2dx+Q_2dy+R_2dz)$$
$$P_1P_2dx \wedge dx+P_1Q_2dx \wedge dy+P_1R_2dx \wedge dz+$$
$$Q_1P_2dy \wedge dx+Q_1Q_2dy \wedge dy+Q_1R_2dy \wedge dz+$$
$$R_1P_2dz \wedge dx+R_1Q_2dz \wedge dy+R_1R_2dz \wedge dz$$
$$=P_1Q_2dx \wedge dy-Q_1P_2dx \wedge dy+Q_1R_2dy \wedge dz-$$
$$=R_1Q_2dy \wedge dz+R_1P_2dz \wedge dx-P_1R_2dz \wedge dx$$
$$= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} P_1&Q_1\\ P_2&Q_2 \end{array}} \right|dx \wedge dy+ \left| {\begin{array}{*{20}{c}} Q_1&R_1\\ Q_2&R_2 \end{array}} \right|dy \wedge dz+ \left| {\begin{array}{*{20}{c}} R_1&P_1\\ R_2&P_2 \end{array}} \right|dz \wedge dx。$$
  同理可证
$$w_1^1 \wedge w_2^2=(P_1dx+Q_1dy+R_1dz) \wedge (P_2dy \wedge dz+Q_2dz \wedge dx+R_2dx \wedge dy)$$
$$=(P_1P_2+Q_1Q_2+R_1R_2)dx \wedge dy \wedge dz。$$
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