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[数学分析] 管量场

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发表于 2017-11-8 23:07:12 | 显示全部楼层 |阅读模式
  若一个向量场$A$的散度恒为零,即${\rm div} A=0$,我们曾称$A$为无源场。从Gauss公式知,此时沿任何封闭曲面的曲面积分都等于零。我们把场$A$称作管量场。这是因为,若在向量场$A$中作一向量管,即由向量线围成的管状的曲面,用断面$S_1$,$S_2$截它,以$S_3$表示所截出的管的表面,我们就得到了由$S_1$,$S_2$,$S_3$所围成的封闭曲面$S$。于是由
$$\iiint\limits_V {\rm div} AdV=\oint\oint\limits_S A \cdot dS$$
  得出
$$\iint\limits_S A \cdot dS=\iint\limits_{S_1外侧} A \cdot dS+\iint\limits_{S_2外侧} A \cdot dS+\iint\limits_{S_3外侧} A \cdot dS=0。$$
而向量线与曲面$S_3$的法线正交,所以
$$\iint\limits_{S_3外侧} A \cdot dS=0,$$
  即
$$\iint\limits_{S_1外侧} A \cdot dS+\iint\limits_{S_2外侧} A \cdot dS=0,$$
$$\iint\limits_{S_1内侧} A \cdot dS=\iint\limits_{S_2外侧} A \cdot dS。$$
  这等式说明了流体通过向量管的任意断面的流量是相同的,所以我们把场$A$称为管量场
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