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[数学分析] 旋度场

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发表于 2017-11-8 23:07:00 | 显示全部楼层 |阅读模式
  设
$$A(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$$
  为空间区域$V$上的向量函数。对$V$上每一点$(x,y,z)$,定义向量函数
$$F(x,y,z)=(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}),$$
  称它为向量函数$A$在$(x,y,z)$处的旋度,记作
$$F(x,y,z)={\rm rot} A。$$
  设$(\cos \alpha_t,\cos \beta_t,\cos \gamma_t)$是曲线$L$的正向上的单位切线向量$t_0$的方向余弦,向量$ds=(\cos \alpha_t,\cos \beta_t,\cos \gamma_t)ds=t_0dl$称为弧长元素向量。于是Stokes公式可写成如下向量形式:
$$\iint\limits_S {\rm rot} A \cdot dS=\oint_L A \cdot ds。$$
  为了说明旋度与坐标系的选取无关,我们在场$V$中任意取一点$M_0$,通过$M_0$作平面$\pi$垂直于曲面$S$的法向量$n_0$,且在$\pi$上围绕$M_0$作任一封闭曲线$L$,记$L$所围区域为$D$,则由上式有
$$\iint\limits_S {\rm rot} A \cdot dS=\iint\limits {\rm rot} A \cdot n_0dS=\oint_L A \cdot ds。$$
  对左端二重积分应用中值定理可得
$$\iint\limits_D {\rm rot} A \cdot n_0dS=({\rm rot} A \cdot n_0)_{M^*}\mu(D)=\oint_L A \cdot ds,$$
  其中$\mu(D)$为区域$D$的面积,$M^*$为$D$中的某一点。因此
$$({\rm rot} A \cdot n_0)_{M^*}=\frac{\oint_L A \cdot ds}{\mu(D)}。$$
  现让$D$收缩到点$M_0$(记作$D \to M_0$)时,于是$M^*$趋于$M_0$,因此有
$$({\rm rot} A \cdot n_0)_{M_0}=\lim\limits_{D \rightarrow M_0}\frac{\oint_L A \cdot ds}{\mu(D)}。$$
  上式左边为${\rm rot} A$在法线方向上的投影,因此它也确定了${\rm rot} A$的本身,所以上式也可以作为旋度的另一种定义形式。由于上式右边的极限与坐标系的选取无关,所以${\rm rot} A$也与坐标系选取无关。
  由向量函数$A$的旋度${\rm rot} A$所定义的向量场,称为旋度场
  应用算符$\nabla$表示$A$的旋度是
$${\rm rot} A=\nabla \times A。$$

  旋度有如下一些基本性质:
1、若$u$,$v$是向量函数,则
$$\nabla \times (u+v)=\nabla \times u+\nabla \times v,$$
$$\nabla (u \cdot v)=u \times (\nabla \times v)+v \times (\nabla \times u)+(u \cdot \nabla)v+(v \cdot \nabla)u,$$
$$\nabla \cdot (u \times v)=v \cdot \nabla \times u-u \cdot \nabla \times v,$$
$$\nabla \times (u \times v)=(v \cdot \nabla)u-(u \cdot \nabla)v+(\nabla \cdot v)u-(\nabla \cdot u)v。$$
2、若$\phi$数量函数,$A$是向量函数,则
$$\nabla \times (\phi A)=\phi(\nabla \times A)+\nabla \phi \times A。$$
3.若$\phi$数量函数,$A$是向量函数,则
$$\nabla \cdot (\nabla \times A)=0,$$
$$\nabla \times \nabla \phi=0,$$
$$\nabla \times (\nabla \times A)=\nabla(\nabla \cdot A)-\nabla^2A=\nabla(\nabla \cdot A)-\Delta A。$$
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