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[数学分析] 重积分的应用

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发表于 2017-11-8 23:04:09 | 显示全部楼层 |阅读模式
  设$D$为可求面积的平面有界区域,函数$f(x,y)$在$D$上具有连续的一阶偏导数,讨论由方程
$$z=f(x,y),(x,y) \in D$$
  所确定的曲面$S$的面积。
  为了定义曲面$S$的面积,对区域$D$作分割$T$,它把$D$分成$n$个小区域$\sigma_i$($i=1,2,\cdots,n$)。根据这个分割相应地将曲面$S$也分成$n$个小曲面片$S_i$($i=1,2,\cdots,n$)。在每个$S_i$上任取一点$M_i$,作曲面在这一点的切平面$\pi_i$,并在$\pi_i$上取出一小块$A_i$,使得$A_i$与$S_i$在$xy$平面上的投影都是$\sigma_i$。现在点$M_i$附近,用切平面$A_i$代替小曲面片$S_i$,从而当$||T||$充分小时,有
$$\Delta S=\sum\limits_{i=1}^n \Delta S_i \approx \sum\limits_{i=1}^n \Delta A_i,$$
  这里$\Delta S$,$\Delta S_i$,$\Delta A_i$分别表示曲面$S$,小曲面片$S_i$,小切平面块$A_i$的面积。所以当$||T|| \to 0$时,可用和式$\sum\limits_{i=1}^n \Delta A_i$的极限作为$S$的面积。
  现在按照上述给出的曲面面积的概念,来建立曲面面积的计算公式。
  首先计算$A_i$的面积。由于切平面$\pi_i$的法向量就是曲面$S$在点$M_i(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$处的法向量,记它与$z$轴的夹角为$\gamma_i$,则
$$|\cos \gamma_i|=\frac{1}{\sqrt{1+f_x^2(\xi_i,\eta_i)+f_y^2(\xi_i,\eta_i)}}。$$
  因为$A_i$为在$xy$平面上的投影为$\sigma_i$,所以
$$\Delta A_i=\frac{\Delta \sigma_i}{\cos \gamma_i}=\sqrt{1+f_x^2(\xi_i,\eta_i)+f_y^2(\xi_i,\eta_i)}\Delta \sigma_i。$$
  其次,由于和数
$$\sum\limits_{i=1}^n \Delta A_i=\sum\limits_{i=1}^n \sqrt{1+f_x^2(\xi_i,\eta_i)+f_y^2(\xi_i,\eta_i)}\Delta \sigma_i$$
  是连续函数$\sqrt{1+f_x^2(\xi_i,\eta_i)+f_y^2(\xi_i,\eta_i)}\Delta \sigma_i$在有界闭区域$D$上的积分和。于是当$||T|| \to 0$时,就得到
$$\Delta S=\lim\limits_{||T|| \rightarrow 0}\sum\limits_{i=1}^n \sqrt{1+f_x^2(\xi_i,\eta_i)+f_y^2(\xi_i,\eta_i)}\Delta \sigma_i$$
$$=\iint\limits_D \sqrt{1+f_x^2(\xi_i,\eta_i)+f_y^2(\xi_i,\eta_i)}dxdy$$
  或
$$\Delta S=\lim\limits_{||T|| \rightarrow 0}\sum\limits_{i=1}^n \frac{\Delta \sigma_i}{|\cos \gamma_i|}=\iint\limits_D \frac{dxdy}{|\cos (n,z)|},$$
  其中$\cos (n,z)$为曲面的法向量与$z$轴正向夹角的余弦。
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