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[数学分析] 两类曲线积分的联系

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发表于 2017-11-8 23:02:43 | 显示全部楼层 |阅读模式
  虽然第一型曲线积分与第二型曲线积分有着不同的特性,但在一定条件下,如在规定了曲线的方向之后,可以建立它们之间的联系。
  设$L$为从$A$到$B$的有向光滑曲线,它以弧长$s$为参数,于是
$$L:\left\{ \begin{array}{l} x=x(s)\\ y=y(s) \end{array} \right.0 \le s \le l,$$
  其中$l$为曲线$L$的全长,且点$A$与$B$的坐标分别为$(x(0),y(0))$与$(x(l),y(l))$。曲线$L$上每一点的切线方向指向弧长增加的一方。现以$(t,x)$,$(t,y)$分别表示切线方向$t$与$x$轴与$y$轴正向的夹角,则在曲线上的每一点的切线方向余弦是
$$\frac{dx}{ds}=\cos (t,x),\frac{dy}{ds}=\cos (t,y)。$$
  若$P(x,y)$,$Q(x,y)$为曲线$L$上的连续函数,则由
$$\int_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy$$
$$=\int_{\alpha}^{\beta} [P(\phi(t),\psi(t))\phi'(t)+Q(\phi(t),\psi(t))\psi'(t)]dt$$
  得
$$\int_L Pdx+Qdy$$
$$=\int_0^l [P(x(s),y(s))\cos (t,x)+Q(x(s),y(s))\cos (t,y)]ds$$
$$=\int_L [P(x,y)\cos (t,x)+Q(x,y)\cos (t,y)]ds,$$
  最后一个等式是根据第一型曲线积分化为定积分的公式。
  这里必须指出,当上式左边第二型曲线积分中$L$改变方向时,积分值改变符号,相应在上式右边第一型曲线积分中,曲线上各点的切线方向指向相反的方向(即指向弧常减少的方向)。这时夹角$(t,x)$和$(t,y)$分别与原来的夹角相差一个弧度$\pi$,从而$\cos (t,x)$和$\cos (t,y)$都要变号。因此,一旦方向确定了,上式总是成立的。
  这样,根据条件和公式便建立了两种不同类型曲线积分之间的联系。
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