请选择 进入手机版 | 继续访问电脑版

数学之家

建站
数学爱好者的家园
 找回密码
 注册

QQ登录

只需一步,快速开始

查看: 2115|回复: 0

[数学分析] 第二型曲线积分

[复制链接]
发表于 2017-11-8 23:02:32 | 显示全部楼层 |阅读模式
定义 设函数$P(x,y)$与$Q(x,y)$定义在平面有向可求长度曲线$L: \widehat {AB}$上。对$L$的任一分割$T$,它把$L$分成$n$个小曲线段
$$\overline {M_{i-1}M_i}(i=1,2,\cdots,n),$$
  其中$M_0=A$,$M_n=B$。记各小曲线段$\overline {M_{i-1}M_i}$的弧长为$\Delta s_i$,分割$T$的细度$||T||=\max\limits_{1 \le i \le n} \Delta s_i$。又设$T$的分点$M_i$的坐标为$(x_i,y_i)$,并记$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$,$\Delta y_i=y_i-y_{i-1}$($i=1,2,\cdots,n$)。在每个小曲线段$\overline {M_{i-1}M_i}$上任取一点$(\xi_i,\eta_i)$,若极限
$$\lim\limits_{||T|| \rightarrow 0} \sum\limits_{i=1}^n P(\xi_i,\eta_i) \Delta x_i+\lim\limits_{||T|| \rightarrow 0} \sum\limits_{i=1}^n Q(\xi_i,\eta_i) \Delta y_i$$
  存在且分割$T$与点$(x_i,y_i)$的取法无关,则称此极限为函数$P(x,y)$,$Q(x,y)$沿有向曲线$L$上的第二型曲线积分,记为
$$\int_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy或\int_{AB} P(x,y)dx+Q(x,y)dy$$

  上述积分也可写作
$$\int_L P(x,y)dx+\int_L Q(x,y)dy$$
  或
$$\int_{AB} P(x,y)dx+\int_{AB} Q(x,y)dy$$。
  为书写简洁起见,上式常简写成
$$\int_L Pdx+Qdy$或$\int_{AB} Pdx+Qdy。$$
  若$L$为封闭的有向曲线,则记为
$$\oint_L Pdx+Qdy。$$
  倘若$L$为空间有向可求长度曲线,$P(x,y,z)$,$Q(x,y,z)$,$R(x,y,z)$为定义在$L$上的函数,则可按上述办法类似地定义沿空间有向曲线$L$上的第二型曲线积分,并记为
$$\int_L P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz,$$
  或简写成
$$\int_L Pdx+Qdy+Rdz。$$
  第二型曲线积分与曲线$L$的方向有关。对同一曲线,当方向由$A$到$B$改为由$B$到$A$时,每一小曲线段的方向都改变,从而所得的$\Delta x_i$,$\Delta y_i$也随之改变符号,故有
$$\int_{AB} Pdx+Qdy=-\int_{BA} Pdx+Qdy。$$
  而第一型曲线积分的被积表达式只是函数$f(x,y)$与弧长的乘积,它与曲线$L$的方向无关。这是两种类型曲线积分的一个重要区别。

  类似于第一型曲线积分,第二型曲线积分也有如下一些主要性质:
1、若$\int_L P_Idx+Q_idy$($i=1,2,\cdots,k$)存在,则$\int_L (\sum\limits_{i=1}^k c_i P_i)dx+(\sum\limits_{i=1}^k c_i Q_i)dy$也存在,且
$$\int_L (\sum\limits_{i=1}^k c_i P_i)dx+(\sum\limits_{i=1}^k c_i Q_i)dy=\sum\limits_{i=1}^k c_i (\int_L P_Idx+Q_idy),$$
  其中$c_i$($i=1,2,\cdots,k$)为常数。
2、若有向曲线$L$是由有向曲线$L_1$,$L_2$,$\cdots$,$L_k$首尾相接而成,且$\int_{L_i} Pdx+Qdy$($i=1,2,\cdots,k$)存在,则$\int_L Pdx+Qdy$也存在,且
$$\int_L Pdx+Qdy=\sum\limits_{i=1}^k \int_{L_i} Pdx+Qdy。$$
  与第一型曲线积分一样,第二型曲线积分也可化为定积分来计算。

  设平面曲线
$$L:\left\{ \begin{array}{l} x=\phi(t)\\ y=\psi(t) \end{array} \right.t \in [\alpha,\beta],$$
  其中$\phi(t)$,$\psi(t)$在$[\alpha,\beta]$上具有一阶连续导函数,且点$A$与$B$的坐标分别为$(\phi(\alpha),\psi(\alpha))$与$(\phi(\beta),\psi(\beta))$。又设$P(x,y)$与$Q(x,y)$为$L$上的连续函数,则沿$L$从$A$到$B$的第二型曲线积分
$$\int_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy$$
$$=\int_{\alpha}^{\beta} [P(\phi(t),\psi(t))\phi'(t)+Q(\phi(t),\psi(t))\psi'(t)]dt。$$
  对于沿封闭曲线$L$的第二型曲线积分
$$\oint_L Pdx+Qdy。$$
  的计算,可在$L$上任意选取一点作为起点,沿$L$所指定的方向前进,最后回到这一点。
回复

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

QQ|网站统计|手机版|小黑屋|数学之家    

GMT+8, 2024-3-29 19:29 , Processed in 1.218750 second(s), 23 queries .

Powered by Discuz! X3.1

© 2001-2013 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表