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[数学分析] 第一型曲线积分

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发表于 2017-11-8 23:02:20 | 显示全部楼层 |阅读模式
定义 设$L$为平面上可求长度的曲线段,$f(x,y)$为定义在$L$上的函数。对曲线$L$作分割$T$,它把$L$分成$n$个可求长度的小曲线段$L_i$($i=1,2,\cdots,n$),$L_i$的弧长记为$\Delta s_i$,分割$T$的细度为$||T||=\max\limits_{1 \le i \le n} \Delta s_i$,在$L_i$上任取一点$(\xi_i,\eta_i)$($i=1,2,\cdots,n$)。若有极限
$$\lim\limits_{||T|| \rightarrow 0} \sum\limits_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i) \Delta s_i=J$$
  且$J$的值与分割$T$与点$(\xi_i,\eta_i)$的取法无关,则称此极限为$f(x,y)$在$L$上的第一型曲线积分,记作
$$\int_L f(x,y)ds。$$

  若$L$为空间可求长曲线段,$f(x,y,z)$为定义在$L$上的函数,则可类似地定义$f(x,y,z)$在空间曲线$L$上的第一型曲线积分,并且记作
$$\int_L f(x,y,z)ds。$$
  关于第一型曲线积分也和定积分一样具有下述一些重要性质。下面列出平面上第一型曲线积分的性质,对于空间的第一型曲线积分的性质,可仿此写出。
1、若$\int_L f_i(x,y)ds$($i=1,2,\cdots,k$)存在,$c_i$($i=1,2,\cdots,k$)为常数,则$\int_L \sum\limits_{i=1}^k c_i f_i(x,y)ds$也存在,且
$$\int_L \sum\limits_{i=1}^k c_i f_i(x,y)ds=\sum\limits_{i=1}^k c_i \int_L f_i(x,y)ds。$$
2、若曲线段$L$由曲线$L_1$,$L_2$,$\cdots$,$L_k$首尾相接而成,且$\int_{L_i} f(x,y)ds$($i=1,2,\cdots,k$)都存在,则$\int_L f(x,y)ds$也存在,且
$$\int_L f(x,y)ds=\sum\limits_{i=1}^k \int_{L_i} f(x,y)ds。$$
3、若$\int_L f(x,y)ds$与$\int_L g(x,y)ds$都存在,且在$L$上$f(x,y) \le g(x,y)$,则
$$\int_L f(x,y)ds \le \int_L g(x,y)ds。$$
4、若$\int_L f(x,y)ds$存在,则$\int_L |f(x,y)|ds$也存在,且
$$|\int_L f(x,y)ds| \le \int_L |f(x,y)|ds。$$
5、若$\int_L f(x,y)ds$存在,$L$的弧长为$s$,则存在常数$c$,使得
$$\int_L f(x,y)ds=cs,$$
  这里$\inf\limits_L f(x,y) \le  c \le \sup\limits_L f(x,y)$。

定理 设有光滑曲线
$$L:\left\{ \begin{array}{l} x=\phi(t),\\ y=\psi(t), \end{array} \right.t \in [\alpha,\beta],$$
  函数$f(x,y)$为定义在$L$上的连续函数,则
$$\int_L f(x,y)ds=\int_{\alpha}^{\beta} f(\phi(t),\psi(t)) \sqrt{\phi^2(t)+\psi^2(t)}dt。$$

  当曲线
$$y=\psi(x),x \in [a,b]$$
  表示,且$\psi(x)$在$[a,b]$上有连续的导函数时,
$$\int_L f(x,y)ds=\int_{\alpha}^{\beta} f(\phi(t),\psi(t)) \sqrt{\phi^2(t)+\psi^2(t)}dt。$$
  成为
$$\int_L f(x,y)ds=\int_c^d f(\phi(y),y) \sqrt{1+\phi'^2(y)}dy。$$


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