含参量正常积分

castelu

　　设$f(x,y)$是定义在矩形区域$R=[a,b] \times [c,d]$上的二元函数。当$x$取$[a,b]$上某定值时，函数$f(x,y)$则是定义在$[c,d]$上以$y$为自变量的一元函数。倘若这时$f(x,y)$在$[c,d]$上可积，则其积分值是$x$在$[a,b]$上取值的函数，记它为$I(x)$，就有
$$I(x)=\int_c^d f(x,y)dy，x \in [a,b]。$$
　　一般地，设$f(x,y)$为定义在区域$G=\left\{(x,y)|c(x) \le y \le d(x),a \le x \le b \right\}$上的二元函数，其中$c(x)$，$d(x)$为定义在$[a,b]$上的连续函数，若对于$[a,b]$上每一固定的$x$值，$f(x,y)$作为$y$的函数在闭区间$[c(x),d(x)]$上可积，则其积分值是$x$在$[a,b]$上取值的函数，记作$F(x)$时，就有
$$F(x)=\int_{c(x)}^{d(x)} f(x,y)dy，x \in [a,b]。$$
　　用积分形式所定义的这两个函数，通称为定义在$[a,b]$上的含参量$x$的（正常）积分，或简称含参量积分。
　　下面讨论含参量积分的连续性、可微性与可积性。

定理1（连续性）　若二元函数$f(x,y)$在矩形区域$R=[a,b] \times [c,d]$上连续，则函数
$$I(x)=\int_c^d f(x,y)dy$$
　　在$[a,b]$上连续。

定理2（连续性）　若二元函数$f(x,y)$在区域
$$G=\left\{(x,y)|c(x) \le y \le d(x),a \le x \le b \right\}$$
　　上连续，其中$c(x)$，$d(x)$为定义在$[a,b]$上的连续函数，则函数
$$F(x)=\int_{c(x)}^{d(x)} f(x,y)dy$$
　　在$[a,b]$上连续。

定理3（可微性）　若函数$f(x,y)$与其偏导数$\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)$都在矩形区域$R=[a,b] \times [c,d]$上连续，则
$$I(x)=\int_c^d f(x,y)dy$$
　　在$[a,b]$上可微，且
$$\frac{d}{dx} \int_c^d f(x,y)dy=\int_c^d \frac{\partial}{\partial x}f(x,y)dy。$$

定理4（可微性）　设$f(x,y)$，$f_x(x,y)$在$R=[a,b] \times [p,q]$上连续，$c(x)$，$d(x)$为定义在$[a,b]$上其值含于$[p,q]$内的可微函数，则函数
$$F(x)=\int_{c(x)}^{d(x)} f(x,y)dy$$
　　在$[a,b]$上可微，且
$$F'(x)=\int_{c(x)}^{d(x)} f_x(x,y)dy+f(x,d(x))d'(x)-f(x,c(x))c'(x)。$$

定理5（可积性）　若$f(x,y)$在矩形区域$R=[a,b] \times [c,d]$上连续，则$I(x)$和$J(y)$分别在$[a,b]$和$[c,d]$上可积。

　　这就是说，在$f(x,y)$连续性假设下，同时存在两个求积顺序不同的积分：
$$\int_a^b [\int_c^d f(x,y)dy]dx$与$\int_c^d [\int_a^b f(x,y)dx]dy。$$
　　为书写简便起见，今后将上述两个积分写作
$$\int_a^b dx \int_c^d f(x,y)dy$与$\int_c^d dy \int_a^b f(x,y)dx，$$
　　前者表示$f(x,y)$先对$y$求积然后对$x$求积，后者则求积顺序相反。它们统称为累次积分，或更确切地称为二次积分。
　　下面的定理指出，在$f(x,y)$连续性假设下，累次积分与求积顺序无关。

定理6　若$f(x,y)$在矩形区域$R=[a,b] \times [c,d]$上连续，则
$$\int_a^b dx \int_c^d f(x,y)dy=\int_c^d dy \int_a^b f(x,y)dx。$$