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[数学分析] 方向导数

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发表于 2017-11-8 22:57:43 | 显示全部楼层 |阅读模式
定义 设三元函数$f$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$的某邻域$U(P_0) \subset R^3$内有定义,$l$为从点$P_0$出发的射线,$P(x,y,z)$为$l$上且含于$U(P_0)$内的任一点,以$\rho$表示$P$与$P_0$两点间的距离。若极限
$$\lim\limits_{\rho \rightarrow 0^+} \frac{f(P)-f(P_0)}{\rho}=\lim\limits_{\rho \rightarrow 0^+} \frac{\Delta_lf}{\rho}$$
  存在,则称此极限为函数$f$在点$P_0$沿方向$l$的方向导数,记作
$$\frac{\partial f}{\partial l}|_{P_0},f_l(P_0)或f_l(x_0,y_0,z_0)。$$

  容易看到,若$f$在点$P_0$存在关于$x$的偏导数,则$f$在点$P_0$沿$x$轴正向的方向导数恰为
$$\frac{\partial f}{\partial l}|_{P_0}=\frac{\partial f}{\partial x}|_{P_0}。$$
  当$l$的方向为$x$轴的负方向时,则有
$$\frac{\partial f}{\partial l}|_{P_0}=-\frac{\partial f}{\partial x}|_{P_0}。$$
  沿任一方向的方向导数与偏导数的关系由下述定理给出。

定理 若函数$f$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$可微,则$f$在点$P_0$处沿任一方向$l$的方向导数都存在,且
$$f_l(P_0)=f_x(P_0)\cos \alpha+f_y(P_0)\cos \beta+f_z(P_0)\cos \gamma,$$
  其中$\cos \alpha$,$\cos \beta$,$\cos \gamma$为方向$l$的方向余弦。
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