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[数学分析] 二元函数的极限

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发表于 2017-11-8 22:55:57 | 显示全部楼层 |阅读模式
定义1 设$f$为定义在$D \subset R^2$上的二元函数,$P_0$为$D$的一个聚点,$A$是一个确定的实数。若对任给正数$\epsilon$,总存在某正数$\delta$,使得当$P \in U^*(P_0;\delta) \cap D$时,都有
$$|f(P)-A|<\epsilon,$$
  则称$f$在$D$上当$P \to P_0$时,以$A$为极限,记作
$$\lim\limits_{P \rightarrow P_0,P \in D} f(P)=A。$$
  在对于$P \in D$不致产生误解时,也可简单地写作
$$\lim\limits_{P \rightarrow P_0}f(P)=A。$$
  当$P$,$P_0$分别用坐标$(x,y)$,$(x_0,y_0)$表示时,上式也常写作
$$\lim\limits_{(x,y) \rightarrow (x_0,y_0)}f(x,y)=A。$$

定理1 $\lim\limits_{P \rightarrow P_0,P \in D}f(P)=A$的充要条件是:对于$D$的任一子集$E$,只要$P_0$是$E$的聚点,就有
$$\lim\limits_{P \rightarrow P_0,P \in E}f(P)=A。$$

推论1 设$E_1 \subset D$,$P_0$是$E_1$的聚点。若$\lim\limits_{P \rightarrow P_0,P \in E_1}f(P)$不存在,则$\lim\limits_{P \rightarrow P_0,P \in D}f(P)$也不存在。

推论2 设$E_1$,$E_2 \subset D$,$P_0$是它们的聚点,若存在极限
$$\lim\limits_{P \rightarrow P_0,P \in E_1}f(P)=A_1,\lim\limits_{P \rightarrow P_0,P \in E_2}f(P)=A_2,$$
但$A_1 \ne A_2$,则$\lim\limits_{P \rightarrow P_0,P \in D}f(P)$不存在。

推论3 极限$\lim\limits_{P \rightarrow P_0,P \in D}f(P)$存在的充要条件是:对于$D$中任一满足条件$P_n \ne P_0$且$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}P_n=P_0$的点列$\left\{P_n \right\}$,它所对应的数列$\left\{f(P_n) \right\}$都收敛。

  下面我们再给出当$P(x,y) \to P_0(x_0,y_0)$时,$f(x,y)$趋于$+\infty$(非正常极限)的定义。

定义2 设$D$为二元函数$f$的定义域,$P_0(x_0,y_0)$是$D$的一个聚点。若对任给正数$M$,总存在点$P_0$的一个$\delta$邻域,使得当$P(x,y) \in U^*(P_0;\delta) \cap D$时,都有$f(P)>M$,则称$f$在$D$上当$P \to P_0$时,存在非正常极限$+\infty$,记作
$$\lim\limits_{(x,y) \rightarrow (x_0,y_0)}f(x,y)=+\infty$$
  或
$$\lim\limits_{P \rightarrow P_0}f(P)=+\infty。$$
  仿此可类似地定义:
$$\lim\limits_{P \rightarrow P_0}f(P)=-\infty与\lim\limits_{P \rightarrow P_0}f(P)=\infty。$$

  在上一段所研究的极限$\lim\limits_{(x,y) \rightarrow (x_0,y_0)}f(x,y)$中,两个自变量$x$,$y$同时以任何方式趋于$x_0$,$y_0$。这种极限也称为重极限。在这一段里,我们要考察$x$与$y$依一定的先后顺序相继趋于$x_0$与$y_0$时$f$的极限,这种极限称为累次极限。

定义3 设$E_x$,$E_y \subset R$,$x_0$是$E_x$的聚点,$y_0$是$E_y$的聚点,二元函数$f$在集合$D=E_x\times E_y$上有定义。若对每一个$y \in E_y$,$y \ne y_0$,存在极限$\lim\limits_{x \rightarrow x_0,x \in E_x}f(x,y)$,由于此极限一般与$y$有关,因此记作
$$\phi(y)=\lim\limits_{x \rightarrow x_0,x \in E_x}f(x,y),$$
  而且进一步存在极限
$$L=\lim\limits_{y \rightarrow y_0,y \in E_y} \phi(y),$$
  则称此极限为二元函数$f$先对$x(\to x_0)$后对$y(\to y_0)$的累次极限,并记作
$$L=\lim\limits_{y \rightarrow y_0,y \in E_y}\lim\limits_{x \rightarrow x_0,x \in E_x}f(x,y)$$
  或简记作
$$L=\lim\limits_{y \rightarrow y_0}\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x,y)。$$

  类似地可以定义先对$y$后对$x$的累次极限
$$K=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\lim\limits_{y \rightarrow y_0}f(x,y)。$$
  累次极限与重极限是两个不同的概念,它们的存在性没有必然的蕴含关系。

定理2 若$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$存在重极限
$$\lim\limits_{(x,y) \rightarrow (x_0,y_0)}f(x,y)$$
  与累次极限
$$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\lim\limits_{y \rightarrow y_0}f(x,y),$$
  则它们必相等。

  由这个定理可导出如下两个便于应用的推论。

推论1 若累次极限
$$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\lim\limits_{y \rightarrow y_0}f(x,y),\lim\limits_{y \rightarrow y_0}\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x,y)$$
  和重极限
$$\lim\limits_{(x,y) \rightarrow (x_0,y_0)}f(x,y)$$
  都存在,则三者相等。

推论2 若累次极限
$$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\lim\limits_{y \rightarrow y_0}f(x,y)与\lim\limits_{y \rightarrow y_0}\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x,y)$$
  存在但不相等,则重极限$\lim\limits_{(x,y) \rightarrow (x_0,y_0)}f(x,y)$必不存在。

  定理2保证了在重极限与一个累次极限都存在时,它们必相等。但它们对另一个累次极限的存在性却得不出什么结论。
  推论1给出了累次极限次序可交换的一个充分条件;推论2可被用来否定重极限的存在性。
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