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[数学分析] 二元函数

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发表于 2017-11-8 22:55:33 | 显示全部楼层 |阅读模式
定义 设平面点集$D \subset R^2$,若按照某对应法则$f$,$D$中每一点$P(x,y)$都有惟一确定的实数$z$与之对应,则称$f$为定义在$D$上的二元函数(或称$f$为$D$到$R$的一个映射),记作
$$f: D \to R,$$
$$P \mapsto z,$$
  且称$D$为$f$的定义域;$P \in D$所对应的$z$为$f$在点$P$的函数值,记作$z=f(P)$或$z=f(x,y)$;全体函数值的集合为$f$的值域,记作$f(D) \subset R$,通常还把$P$的坐标$x$与$y$称为$f$的自变量,而把$z$称为因变量。
  在映射意义下,上述$z=f(P)$称为$P$的象,$P$称为$z$的原象。当把$(x,y) \in D$和它所对应的象$z=f(x,y)$一起组成三维数组$(x,y,z)$时,三维欧式空间$R^3$中的点集
$$S=\left\{(x,y,z)|z=f(x,y),(x,y) \in D) \right\} \subset R^3$$
  便是二元函数$f$的图象。通常$z=f(x,y)$的图象是一空间曲面,$f$的定义域$D$便是该曲面在$xOy$平面上的投影。
  为方便起见,由上式所确定的二元函数也记作
$$z=f(x,y),(x,y) \in D$$
  或
$$z=f(P),P \in D,$$
  且当它的定义域$D$不会被误解的情况下,也简单地说“函数$z=f(x,y)$”或“函数$f$”。
  若二元函数的值域是有界数集,则称该函数为有界函数;若值域是无界数集,则称该函数为无界函数。
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