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[数学分析] Taylor级数

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发表于 2017-11-8 22:36:49 | 显示全部楼层 |阅读模式
  Taylor定理中曾指出,若函数$f$在点$x_0$的某邻域内存在直至$n+1$阶的连续导数,则
$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+ \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x),$$
  这里$R_n(x)$为Largrange型余项
$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1},$$
  其中$\xi$在$x$与$x_0$之间,称上式为$f$在$x_0$的Taylor公式。
  如果在上式中抹去余项$R_n(x)$,那么在$x_0$附近$f$可用上式右边的多项式来近似代替,如果函数$f$在$x=x_0$处存在任意阶的导数,这时称形式为
$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+ \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\cdots$$
  的级数为函数$f$在$x_0$的Taylor级数。

定理 设$f$在点$x_0$具有任意阶导数,那么$f$在区间$(x_0-r,x_0+r)$内等于它的Taylor级数的和函数的充分条件是:对一切满足不等式$|x-x_0|<r$的$x$,有
$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}R_n(x)=0,$$
  这里$R_n(x)$是$f$在$x_0$的Taylor公式余项。
  如果$f$能在$x_0$的某邻域上等于其Taylor级数的和函数,则称函数$f$在$x_0$的这一邻域内可以展开成Taylor级数,并称等式
$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+ \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\cdots$$
  的右边为$f$在$x=x_0$处的Taylor展开式,或称幂级数展开式。
  由级数的逐项求导性质可推得:若$f$为幂级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nx^n$在收敛区间$(-R,R)$上的和函数,则$\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nx^n$就是$f$在$(-R,R)$上的Taylor展开式,这是幂级数展开的惟一性问题。
  在实际应用上,主要讨论函数在$x_0=0$处的展开式,这时上式可以写作
$$f(x)=f(0)+\frac{f'(x_0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+ \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\cdots,$$
  称为Maclaurin级数。
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