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[数学分析] 幂级数

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发表于 2017-11-8 22:35:47 | 显示全部楼层 |阅读模式
  由幂级数列${a_n(x-x_0)^n}$所产生的函数项级数
$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots+a_n(x-x_0)^n+\cdots,$$
  它称为幂级数,是一类最简单的函数项级数,从某种意义上说,它也可以看作是多项式函数的延伸。幂级数在理论和实际上都有很多应用,特别在应用它表示函数方面,使我们对它的作用有许多新的认识。
  下面将着重讨论$x_0=0$,即
$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots$$
  的情形。

定理1(Abel定理) 若幂级数在$x=\overline x \ne 0$收敛,则对满足不等式$|x|<|\overline x|$的任何$x$,幂级数收敛而且绝对收敛;若幂级数在$x=\overline x$时发散,则对满足不等式$|x|>|\overline x|$的任何$x$,幂级数发散。

  由此定理知道:幂级数的收敛域是以原点为中心的区间。若以$2R$表示区间的长度,则称$R$为幂级数的收敛半径。实际上,它就是使得幂级数收敛的那些收敛点的绝对值的上确界。所以
  当$R=0$时,幂级数仅在$x=0$处收敛;
  当$R=+\infty$时,幂级数在$(-\infty,+\infty)$上收敛;
  当$0<R<+\infty$时,幂级数在$(-R,R)$内收敛;对一切满足不等式$|x|>R$的$x$,幂级数都发散;至于$x=\pm R$,幂级数可能收敛也可能发散。
  我们称$(-R,R)$为幂级数的收敛区间。

定理2 对于幂级数,若
$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\rho,$$
  则当
(i)$0<\rho<+\infty$时,幂级数的收敛半径$R=\frac{1}{\rho}$;
(ii)$\rho=0$时,幂级数的收敛半径$R=+\infty$;
(iii)$\rho=+\infty$时,幂级数的收敛半径$R=0$。

定理3(Cauchy-Hadamard定理) 对于幂级数,设
$$\rho=\overline {\lim\limits_{n \rightarrow \infty}}\sqrt[n]{|a_n|},$$
则当
(i)$0<\rho<+\infty$时,收敛半径$R=\frac{1}{\rho}$;
(ii)$\rho=0$时,$R=+\infty$;
(iii)$\rho=+\infty$时,$R=0$。
注意:由于上极限总是存在,因而任一幂级数总能由上式得到它的收敛半径。

定理4 若幂级数的收敛半径为$R$($>0$),则在它的收敛区间$(-R,R)$内任一闭区间$[a,b]$上幂级数都一致收敛。

定理5 若幂级数的收敛半径为$R$($>0$),且在$x=R$(或$x=-R$)时收敛,则幂级数在$[0,R]$(或$[-R,0]$)上一致收敛。

定理6 (i)幂级数的和函数是$(-R,R)$内的连续函数;(ii)若幂级数在收敛区间的左(右)端点上收敛,则其和函数也在这一端点上右(左)连续。

定理7 幂级数在收敛区间$(-R,R)$内逐项求导与逐项求积后所得到的幂级数
$$a_1+2a_2x+3a_3x^2+\cdots+na_nx^{n-1}+\cdots$$
  与
$$a_0x+\frac{a_1}{2}x^2+\frac{a_2}{3}x^3+\cdots+\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+\cdots$$
  与幂级数具有相同的收敛区间。

定理8 设幂级数在收敛区间$(-R,R)$上的和函数为$f$,若$x$为$(-R,R)$内任意一点,则
(i)$f$在$x$可导,且
$$f'(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1};$$
(ii)$f$在$0$与$x$这个区间上可积,且
$$\int_0^x f(t)dt=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}。$$

  定理8指出幂级数在收敛区间内可逐项求导与逐项求积。

推论1 记$f$为幂级数在收敛区间$(-R,R)$内的和函数,则在$(-R,R)$内$f$具有任何阶导数,且可逐项求导任何次,即
$$f'(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2+\cdots+na_nx^{n-1}+\cdots。$$$$f''(x)=2a_2+3*2a_3x+\cdots+n(n-1)a_nx^{n-2}+\cdots,$$$$\cdots$$$$f^{(n)}(x)=n!a_n+(n+1)n(n-1) \cdots 2a_{n+1}x+\cdots,$$$$\cdots$$

推论2 记$f$为幂级数在$x=0$某邻域内的和函数,则幂级数的系数与$f$在$x=0$处的各阶导数有如下关系:
$$a_0=f(0),a_n=\frac{f^{(0)}(0)}{n!},(n=1,2,\cdots)。$$

  这个推论还表明,若幂级数在$(-R,R)$上有和函数$f$,则幂级数由$f$在$x=0$处的各阶导数所惟一确定。

定义 若幂级数
$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots$$
  与
$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_nx^n=b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots+b_nx^n+\cdots$$
  在$x=0$的某邻域内有相同的和函数,则称这两个幂级数在这邻域内相等。

定理9 若幂级数
$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots$$
  与
$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_nx^n=b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots+b_nx^n+\cdots$$
  在$x=0$的某邻域内相等,则它们同次幂项的系数相等,即
$$a_n=b_n(n=1,2,\cdots)。$$

  根据这个定理还可推得:若幂级数的和函数为奇(偶)函数,则不出现偶(奇)次幂的项。

定理10 若幂级数
$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots$$
  与
$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_nx^n=b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots+b_nx^n+\cdots$$
  的收敛半径分别为$R_a$和$R_b$,则有
$$\lambda \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \lambda a_nx^n,|x|<R_a,$$
$$\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nx^n \pm \sum\limits_{n=0}^{\infty} b_nx^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty} (a_n \pm b_n)x^n,|x|<R,$$
$$(\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nx^n)(\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_nx^n)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} c_nx^n,|x|<R,$$
  式中$\lambda$为常数,$R=\min\left\{R_a,R_b \right\}$,$c_n=\sum\limits_{k=0}^n a_kb_{n-k}$。
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