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[数学分析] 一致收敛函数列的性质

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发表于 2017-11-8 22:32:06 | 显示全部楼层 |阅读模式
定理1 设函数列$\left\{f_n \right\}$在$(a,x_0) \cup (x_0,b)$上一致收敛于$f(x)$,且对每个$n$,$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f_n(x)=a_n$,则$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_n$和$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x)$均存在且相等。

  这个定理指出,在一致收敛的条件下,$\left\{f_n(x) \right\}$中两个独立变量$x$与$n$,在分别求极限时其求极限的顺序可以交换,即
$$\lim\limits_{x \rightarrow x_0} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}f_n(x)=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \lim\limits_{x \rightarrow x_0}f_n(x)。$$
  类似地,若$f_n(x)$在$(a,b)$上一致收敛且$\lim\limits_{x \rightarrow a^+}f_n(x)$存在,可推得$\lim\limits_{x \rightarrow a^+} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}f_n(x)=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \lim\limits_{x \rightarrow a^+}f_n(x)$;若$f_n(x)$在$(a,b)$上一致收敛且$\lim\limits_{x \rightarrow b^-}f_n(x)$存在,可推得$\lim\limits_{x \rightarrow b^-} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}f_n(x)=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \lim\limits_{x \rightarrow b^-}f_n(x)$。

定理2(连续性) 若函数列$\left\{f_n \right\}$在区间$I$上一致收敛,且每一项都连续,则其极限函数$f$在$I$上也连续。

定理3(可积性) 若函数列$\left\{f_n \right\}$在$[a,b]$上一致收敛,且每一项都连续,则
$$\int_a^b \lim\limits_{n \rightarrow \infty} f_n(x)dx=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int_a^b f_n(x)dx。$$

定理4(可微性) 设$\left\{f_n \right\}$为定义在$[a,b]$上的函数列,若$x_0 \in [a,b]$为$\left\{f_n \right\}$的收敛点,$\left\{f_n \right\}$的每一项在$[a,b]$上有连续的导数,且$\left\{f_n' \right\}$在$[a,b]$上一致敛,则
$$\frac{d}{dx}{\lim\limits_{n \rightarrow \infty}f_n(x)}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{d}{dx}f_n(x)。$$
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