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[数学分析] 函数列

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发表于 2017-11-8 22:27:11 | 显示全部楼层 |阅读模式
  设
$$f_1,f_2,\cdots,f_n,\cdots$$
  是一列定义在同一数集$E$上的函数,称为定义在$E$上的函数列。也可简单地写作:
$$\left\{f_n \right\}或f_n,n=1,2,\cdots。$$
  设$x_0 \in E$,以$x_0$代入可得数列
$$f_1(x_0),f_2(x_0),\cdots,f_n(x_0),\cdots。$$
  若数列收敛,则称函数列在点$x_0$收敛,$x_0$称为函数列的收敛点。若数列发散,则称函数列在点$x_0$发散。若函数列在数集$D \subset E$上每一点都收敛,则称在数集$D$上收敛。这时$D$上每一点$x$,都有数列${f_n(x)}$的一个极限值与之相对应,由这个对应法则所确定的$D$上的函数,称为函数列的极限函数。若把此极限函数记作$f$,则有
$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} f_n(x)=f(x),x \in D$$
  或
$$f_n(x) \to f(x)(n \to \infty),x \in D。$$
  函数列极限的$\epsilon-N$定义是:对每一固定的$x \in D$,任给正数$\epsilon$,恒存在正数$N$(注意:一般说来$N$值的确定与$\epsilon$和$x$的值都有关,所以也用$N(\epsilon,x)$表示它们之间的依赖关系),使得当$n>N$时。总有
$$|f_n(x)-f(x)|< \epsilon。$$
  使函数列$\left\{f_n \right\}$收敛的全体收敛点集合,称为函数列$\left\{f_n \right\}$的收敛域。
  对于函数列,我们不仅要讨论它在哪些点上收敛,而更重要的是要研究极限函数所具有的解析性质。比如能否由函数列每项的连续性,判断出极限函数的连续性。又如极限函数的导数或积分,是否分别是函数列每项导数或积分的极限,对这些问题的讨论,只要求函数列在数集$D$上的收敛是不够的,必须对它在$D$上的收敛性提出更高的要求才行,这就是以下所要讨论的一致收敛性问题。

定义 设函数列${f_n}$与函数$f$定义在同一数集$D$上,若对任给的正数$\epsilon$,总存在某一正整数$N$,使得当$n>N$时,对一切$x \in D$,都有
$$|f_n(x)-f(x)|< \epsilon,$$
  则称函数列${f_n}$在$D$上一致收敛于$f$,记作
$$f_n(x) => f(x)(n \to \infty),x \in D。$$

  由定义看到,如果函数列${f_n}$在$D$上一致收敛,那么对于所给的$\epsilon$,不管$D$上哪一点$x$,总存在公共的$N(\epsilon)$(即$N$的选取仅与$\epsilon$有关,与$x$的取值无关),只要$n>N$,都有
$$|f_n(x)-f(x)|< \epsilon。$$
  由此看到函数列${f_n}$在$D$上一致收敛,必在$D$上每一点都收敛。反之,在$D$上每一点都收敛的函数列${f_n}$,在$D$上不一定一致收敛。
  函数列一致收敛于$f$,从几何意义上讲:对任何正数$\epsilon$,存在正整数$N$,对于一切序号大于$N$的曲线$y=f_n(x)$,都落在以曲线$y=f(x)+\epsilon$与$y=f(x)-\epsilon$为边(即以曲线$y=f(x)$为“中心线”,宽度为$2\epsilon$)的带形区域内。

定理1(函数列一致收敛的Cauchy准则) 函数列${f_n}$在数集$D$上一致收敛的充要条件是:对任给正数$\epsilon$,总存在正数$N$,使得当$n$,$m>N$时,对一切$x \in D$。都有
$$|f_n(x)-f_m(x)|< \epsilon。$$

  根据一致收敛定义可推出下述定理:

定理2 函数列${f_n}$在区间$D$上一致收敛于$f$的充要条件是:
$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\sup\limits_{x \in D}|f_n(x)-f(x)|=0。$$
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