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[数学分析] 某些无理根式的不定积分

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发表于 2017-11-8 21:39:26 | 显示全部楼层 |阅读模式
1、$\int R(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}})dx$型不定积分$(ad-bc \ne 0)$。对此只需令$t=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$,就可化为有理函数的不定积分。
2、$\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})dx$型不定积分($a>0$时$b^2-4ac \ne 0$,$a<0$时$b^2-4ac>0$)。由于
$$ax^2+bx+c=a[(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a^2}],$$
  若记$u=x+\frac{b}{2a}$,$k^2=|\frac{4ac-b^2}{4a^2}|$,则此二次三项式必属于以下三种情形之一:
$$|a|(u^2+k^2),|a|(u^2-k^2),|a|(k^2-u^2)。$$
  因此上述无理根式的不定积分也就转化为以下三种类型之一:
$$\int R(u,\sqrt{u^2 \pm k^2})du,\int R(u,\sqrt{k^2-u^2})du。$$
  当分别令$u=k \tan t$,$u=k \sec t$,$u=k \sin t$后,它们都化为三角有理式的不定积分。
  一般地,二次三项式$ax^2+bx+c$中若$a>0$,则可令
$$\sqrt{ax^2+bx+c}= \sqrt{a}x \pm t;$$
  若$c>0$,还可令
$$\sqrt{ax^2+bx+c}= xt \pm \sqrt{c}。$$
  这类变换称为欧拉变换
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