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[数学分析] 上极限与下极限

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发表于 2017-11-8 20:10:54 | 显示全部楼层 |阅读模式
定义1 若在数$a$的任一邻域内含有数列$\left\{x_n \right\}$的无限多个项,则称$a$为$\left\{x_n \right\}$的一个聚点。

定理1 有界点列(数列)$\left\{x_n \right\}$至少有一个聚点,且存在最大聚点与最小聚点。

  若定义1中的$a$可允许是非正常点$+\infty$或$-\infty$,则定理1可相应地扩充为:任一点列$\left\{x_n \right\}$至少有一个聚点,且存在最大聚点与最小聚点。

  不难证明:无上(下)界点列的最大(小)聚点为$+\infty(-\infty)$。于是,无上(下)界点列有非正常上(下)极限$+\infty(-\infty)$。

定义2 有界数列(点列)$\left\{x_n \right\}$的最大聚点$\overline A$与最小聚点$\underline A$分别称为$\left\{x_n \right\}$的上极限与下极限,记作
$$\overline A=\overline {\lim\limits_{n \rightarrow \infty}}x_n,\underline A=\underline {\lim\limits_{n \rightarrow \infty}}x_n。$$

  由定理1立刻可得:任何有界数列必存在上、下极限。

定理2 对任何有界数列$\left\{x_n \right\}$有
$$\underline {\lim\limits_{n \rightarrow \infty}}x_n \le \overline {\lim\limits_{n \rightarrow \infty}}x_n。$$

定理3 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}x_n=A$的充要条件是$\overline {\lim\limits_{n \rightarrow \infty}}x_n=\underline {\lim\limits_{n \rightarrow \infty}}x_n=A$。

定理4 设$\left\{x_n \right\}$为有界数列。
(1)$\overline A$为$\left\{x_n \right\}$上极限的充要条件是:任给$\epsilon>0$,
(i)存在$N>0$,使得当$n>N$时有$x_n<\overline A+ \epsilon$;
(ii)存在子列$\left\{x_{n_k} \right\}$,$x_{n_k}>\overline A- \epsilon$,$k=1,2,\cdots$。
(2)$\underline A$为$\left\{x_n \right\}$下极限的充要条件是:任给$\epsilon>0$,
(i)存在$N>0$,使得当$n>N$时有$x_n>\underline A- \epsilon$;
(ii)存在子列$\left\{x_{n_k} \right\}$,$x_{n_k}<\underline A+ \epsilon$,$k=1,2,\cdots$。

定理5 设$\left\{x_n \right\}$为有界数列。
(1)$\overline A$为$\left\{x_n \right\}$上极限的充要条件是:对任何$\alpha>\overline A$,$\left\{x_n \right\}$中大于$\alpha$的项至多有限个;对任何$\beta<\overline A$,$\left\{x_n \right\}$中大于$\beta$的项有无限多个。
(2)$\underline A$为$\left\{x_n \right\}$下极限的充要条件是:对任何$\beta<\underline A$,$\left\{x_n \right\}$中小于$\beta$的项至多有限个;对任何$\alpha >\underline A$,$\left\{x_n \right\}$中小于$\alpha$的项有无限多个。

定理6(上、下极限的保不等式性) 设有界数列${a_n}$,${b_n}$满足:存在$N_0>0$,当$n>N_0$时有$\alpha \le a_n \le \beta$,则
$$\overline {\lim\limits_{n \rightarrow \infty}}a_n \le \overline {\lim\limits_{n \rightarrow \infty}}b_n,\underline {\lim\limits_{n \rightarrow \infty}}a_n \le \underline {\lim\limits_{n \rightarrow \infty}}b_n。$$
特别,若$\alpha$,$\beta$为常数,又存在$N_0>0$,当$n>N_0$时有$\alpha \le a_n \le \beta$,则
$$\alpha \le \underline {\lim\limits_{n \rightarrow \infty}}a_n \le \overline {\lim\limits_{n \rightarrow \infty}}b_n \le \beta。$$

定理7 设$\left\{x_n \right\}$为有界数列。
(1)$\overline A$为$\left\{x_n \right\}$上极限的充要条件是
$$\overline A= \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\sup\limits_{k \ge n}{x_k};$$
(2)$\underline A$为$\left\{x_n \right\}$下极限的充要条件是
$$\underline A= \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\inf\limits_{k \ge n}{x_k}。$$

 对于非正常上、下极限,上述定理2至定理7也成立(其中定理3应作相应的修改)。例如,$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}x_n=+\infty$的充要条件是
$$\overline {\lim\limits_{n \rightarrow \infty}}x_n=\underline {\lim\limits_{n \rightarrow \infty}}x_n=+\infty。$$
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