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[数学分析] 导数

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发表于 2017-11-8 18:52:39 | 显示全部楼层 |阅读模式
定义 设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某邻域内有定义,若极限
$$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$
  存在,则称函数$f$在点$x_0$可导,并称该极限为函数$f$在点$x_0$处的导数,记作$f'(x_0)$。
  令$x = x_0 + \Delta x$,$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$,则上式可改写为
$$\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = f'(x_0)。$$
  所以,导数是函数增量$\Delta y$与自变量增量$\Delta x$之比$\frac{\Delta y}{\Delta x}$的极限。这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率(又称差商),而导数$f'(x_0)$则为$f$在$x_0$处关于$x$的变化率。
  若上式极限不存在,则称$f$在点$x_0$处不可导。
  我们已经知道$f(x)$在点$x=x_0$的切线斜率$k$,正是割线斜率在$x \to x_0$时的极限,即
$$k=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}。$$
  由导数的定义,$k=f'(x)$,所以曲线$y=f(x)$在点$x_0,y_0$的切线方程是
$$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)。$$
  这就是说:函数$f$在点$x_0$的导数$f'(x_0)$是曲线$y=f(x)$在点$(x_0,y_0)$处的切线斜率。若$\alpha$表示这条切线与$x$轴正向的夹角,则$f'(x_0) = \tan \alpha$。从而$f'(x_0) > 0$意味着切线与$x$轴正向的夹角为锐角;$f'(x_0) < 0$意味着切线与$x$轴正向的夹角为钝角;$f'(x_0) = 0$表示切线与$x$轴平行。
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