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[数学分析] 曲线的渐近线

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发表于 2017-11-8 18:44:42 | 显示全部楼层 |阅读模式
定义 若曲线$C$上的动点$P$沿着曲线无限地远离原点时,点$P$与某定直线$L$的距离趋于$0$,则称直线$L$为曲线$C$的渐近线。
  若曲线$y=f\left( x \right)$有斜渐近线$y=kx+b$,则常数$k$与$b$可相继由下列两式来确定:
$$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}\frac{f\left( x \right)}{x} = k,\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}\left[ f\left( x \right)-kx \right] = b。$$
  反之,若由上述两式求得$k$与$b$,则可知$|PN| \to 0 \left( x \to +\infty \right)$,从而$y=kx+b$为曲线$y=f\left( x \right)$的渐近线。
  若函数$f$满足
$$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f\left( x \right) = \infty(或\lim\limits_{x \rightarrow x_0^+}f\left( x \right) = +\infty,\lim\limits_{x \rightarrow x_0^-}f\left( x \right) = +\infty),$$
  则按渐近线的定义可知,曲线$y=f\left( x \right)$有垂直于$x$轴的渐近线$x=x_0$,称为垂直渐近线。
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