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[已解决] 蓝以中下册 一元多项式环 174页 习题二3 解答

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发表于 2016-7-29 19:03:21 | 显示全部楼层 |阅读模式
习题二3:
  将$C$看做有理数域$Q$上的线性空间。设$f(x)$是$Q[x]$内的一个$n$次不可约多项式,$\alpha \in C$是$f(x)$的一个根。令
$$Q[\alpha]=\left\{a_0+a_1\alpha+\cdots+a_{n-1}\alpha^{n-1}|a_i \in Q\right\}$$
  证明$Q[\alpha]$是$C$的一个有限维子空间,并求$Q[\alpha]$的一组基。



解:
(1)证明$Q[\alpha]$是一个数域
  首先,$Q[\alpha]$显然对复数加、减、乘运算是封闭的
  设
$$a_0+a_1\alpha+\cdots+a_{n-1}\alpha^{n-1} \in Q[\alpha]$$
  为非零复数,定义
$$g(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_{n-1}x^{n-1} \in Q[x]$$
  因$f(x)$为$Q[x]$内不可约多项式,而
$$\deg g(x) \ge n-1 < \deg f(x)$$
  故
$$f(x) \not| g(x)$$
  此时应有
$$(g(x),f(x))=1$$
  于是存在
$$u(x),v(x) \in Q[x]$$
  使
$$u(x)g(x)+v(x)f(x)=1$$
  令
$$x=\alpha$$
  代入,则
$$u(\alpha)g(\alpha)+v(\alpha)f(\alpha)=u(\alpha)g(\alpha)=1$$
  这表明
$$\frac{1}{g(\alpha})=u(\alpha) \in Q[\alpha]$$
  由此推出$Q[\alpha]$对复数除法也封闭。故$Q[\alpha]$是一数域。
(2)下面证明$Q[\alpha]$作为$Q$上线性空间是$n$维的。设
$$a_0+a_1\alpha+\cdots+a_{n-1}\alpha^{n-1}=0 (a_i \in Q)$$
  令
$$g(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}$$
  若
$$g(x) \ne 0$$
  则因
$$f(x) \not| g(x)$$
  应有
$$(f(x),g(x))=1$$
  于是存在
$$u(x),v(x) \in Q[x]$$
  使
$$u(x)g(x)+v(x)f(x)=1$$
  以
$$x=\alpha$$
  代入得
$$0=1$$
  矛盾。故
$$g(x)=0$$
  即
$$a_0=a_1=\cdots=a_{n-1}=0$$
  由此推知
$$1,\alpha,\cdots,\alpha^{n-1}$$
  在$Q$上线性无关,因$Q[\alpha]$内任意向量均可被它线性表示
  故它是$Q[\alpha]$作为$Q$上线性空间的一组基,因此
$$\dim Q[\alpha]=n$$
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