请选择 进入手机版 | 继续访问电脑版

数学之家

建站
数学爱好者的家园
 找回密码
 注册

QQ登录

只需一步,快速开始

查看: 185|回复: 0

[已解决] 蓝以中上册 双线性函数与二次型 371页 习题四12 解答

[复制链接]
发表于 2016-7-10 19:18:54 | 显示全部楼层 |阅读模式
习题四12:
  给定两个$n$元实二次型
$$f=X'AX,g=X'BX$$
(1)举例说明$f$与$g$均非正定二次型时
$$f+g=X'(A+B)X$$
  仍有可能为正定二次型;
(2)如果$f$和$g$的正惯性指数都小于$\frac{n}{2}$,证明$f+g$必为非正定二次型。



解:
(1)令
$$A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{0}&{0}\\
{0}&{1}
\end{array}} \right),B=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{1}&{0}\\
{0}&{0}
\end{array}} \right)$$
  显然$f$与$g$均为半正定二次型
  但是
$$f+g=X'(A+B)X=X'\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{1}&{0}\\
{0}&{1}
\end{array}} \right)X$$
  为正定二次型;
(2)存在
$$T_1,T_2 \in M_n(R)$$
  使得
$$T_1'AT_1=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{E_r}&{0}\\
{0}&{D_1}
\end{array}} \right),T_2'BT_2=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{D_2}&{0}\\
{0}&{E_s}
\end{array}} \right),r<\frac{n}{2},s<\frac{n}{2}$$
  其中$E_r$和$E_s$都是单位矩阵
  $D_1$和$D_2$都是主对角线为$-1$或$0$的矩阵
  令
$$X=T_1Y$$
  则
$$f=X'AX=Y'\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{E_r}&{0}\\
{0}&{D_1}
\end{array}} \right)Y$$
  令
$$X=T_2Y$$
  则
$$g=X'BX=Y'\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{D_2}&{0}\\
{0}&{E_s}
\end{array}} \right)Y$$
  于是
$$f+g=Y'CY$$
  矩阵$C$的主对角线上$1$的个数不可能等于$n$
  那么$f+g$必为非正定二次型。
回复

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

QQ|网站统计|手机版|小黑屋|数学之家    

GMT+8, 2019-10-16 10:35 , Processed in 1.162152 second(s), 21 queries .

Powered by Discuz! X3.1

© 2001-2013 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表