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[已解决] 蓝以中上册 双线性函数与二次型 371页 习题四11 解答

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发表于 2016-7-9 18:59:49 | 显示全部楼层 |阅读模式
习题四11:
  给定实二次型
$$f=X'AX(A'=A)$$
  证明$f$半正定的充分必要条件是$A$的所有主子式都为非负实数。举例说明:如果仅有$A$的所有顺序主子式都非负,$f$未必是半正定的。



解:
  $f$半正定即其规范形为
$$y_1^2+\cdots+y_r^2$$
  从而$A$合同于主对角线上有$r$个$1$,其余为$0$的对角矩阵$D$
  于是
$$|T'AT|=|T|^2|A|=|D| \ge 0$$
  亦即
$$|A| \ge 0$$
(1)若$f$半正定,设$R$上$n$维线性空间$V$内对称双线性函数
$$f(\alpha,\beta)$$
  在基
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$$
  下矩阵为$A$
  对$A$的任一主子式
$$A\left\{\begin{array}{*{20}{c}}
{i_1}&{i_2}&{\cdots}&{i_r}\\
{i_1}&{i_2}&{\cdots}&{i_r}
\end{array}\right\}$$
  考查子空间
$$M=L(\epsilon_{i_1},\epsilon_{i_2},\cdots,\epsilon_{i_r})$$
  $Q_f(\alpha)$限制在$M$内其值也非负
  即$Q_f(\alpha)$在$M$内半正定,它在基
$$\epsilon_{i_1},\epsilon_{i_2},\cdots,\epsilon_{i_r}$$
  下矩阵的行列式
$$A\left\{\begin{array}{*{20}{c}}
{i_1}&{i_2}&{\cdots}&{i_r}\\
{i_1}&{i_2}&{\cdots}&{i_r}
\end{array}\right\} \ge 0$$
(2)设$B=(b_{ij})$是$m$阶实方阵,令
$$f(t)=|tE+B|=t^m+a_1t^{m-1}+\cdots+a_m$$
  容易证明
$$a_{m-i}=f^{(i)}(0)=B$$
  的所有$m-i$阶主子式之和
  对任意正实数$t$,考查
$$A(t)=tE+A$$
  设$A$左上角$r$阶子块为$A_r$,我们有
$$|tE_r+A_r|=t^r+a_{r1}t^{r-1}+\cdots+a_{rr}$$
  因为
$$a_{r,r-i}=A_r所有r-i阶主子式之和 \ge 0$$
  (因$A_r$的主子式均为$A$的主子式,故均非负)
  于是,对任意正实数$t$
$$|tE_r+A_r|>0$$
  这里
$$r=1,2,\cdots,n$$
  根据$Hurwitz$定理,$tE+A$正定
  于是对任意正整数$t$,有
$$f_t=X'(tE+A)X>0(当X \ne 0时)$$
  令$t \to 0^+$,则
$$f=\lim\limits_{t \to 0^+}f_t=\lim\limits_{t \to 0^+}(X'(tE+A)X) \ge 0$$
  即$f$为半正定二次型。
  与正定二次型不同,单由$A$的所有顺序主子式非负不能断定该二次型半正定。例如
$$f=-x_2^2=(x_1,x_2)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{0}&{0}\\
{0}&{-1}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{x_1}\\
{x_2}
\end{array}} \right)$$
  它是半负定二次型,但所有顺序主子式均非负。
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