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[已解决] 蓝以中上册 双线性函数与二次型 370页 习题四7 解答

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发表于 2016-7-7 18:39:08 | 显示全部楼层 |阅读模式
习题四7:
  设$A$为$n$阶实对称矩阵,$|A|<0$。证明:存在实的$n$维向量$X$,使$X'AX<0$。



解:
  由于$A$为$n$阶实对称矩阵
  故存在$n$阶正交矩阵$T$,使得
$$T^{-1}AT=T'AT=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\lambda_1}&{}&{}&{}\\
{}&{\lambda_2}&{}&{}\\
{}&{}&{\ddots}&{}\\
{}&{}&{}&{\lambda_n}
\end{array}} \right)$$
  其中
$$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$$
  是$A$的特征值
  由于
$$|A|=\prod\limits_{i=1}^n \lambda_i<0$$
  故
$$\lambda_i(i=1,2\cdots,n)$$
  中至少有一个负数
  不妨设
$$a_1<0$$
  令
$$X=T(1,0,\cdots,0)'$$
  则
$$\begin{eqnarray*}
X‘AX&=&(1,0,\cdots,0)T’AT(1,0,\cdots,0)'\\
&=&(1,0,\cdots,0)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\lambda_1}&{}&{}&{}\\
{}&{\lambda_2}&{}&{}\\
{}&{}&{\ddots}&{}\\
{}&{}&{}&{\lambda_n}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{1}\\
{0}\\
{\vdots}\\
{0}
\end{array}} \right)\\
&=&a_1<0
\end{eqnarray*}$$
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