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[已解决] 蓝以中上册 双线性函数与二次型 370页 习题四4 解答

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发表于 2016-7-5 17:26:32 | 显示全部楼层 |阅读模式
习题四4:
  设$A$是实对称矩阵,证明:当实数$t$充分大之后,$tE+A$是正定矩阵。



解:
  设$A=(a_{ij})$是$m$阶方阵
  按行列式完全展开式
$$\det (tE+A)$$
  应为$t$的多项式
  其展开式有$m!$项,每项是不同行不同列的$m$个元素之积
$$(t+a_{11})(t+a_{22}) \cdots (t+a_{mm})$$
  其他任一项至少包含一个主对角线外元素$a_{ij}$
  这时就不能含$(t+a_{ii})$和$(t+a_{jj})$
  故这些项最多出现$t^{m-2}$
  它的常数项应为$t=0$时的$|A|$,故
$$\begin{eqnarray*}
\det (tE+A)&=&(t+a_{11})(t+a_{22}) \cdots (t+a_{mm})+\cdots\\
&=&t^m+{\rm Tr}(A)t^{m-1}+\cdots+|A|\\
&=&t^m\left(1+{\rm Tr}(A)\frac{1}{t}+\cdots+\frac{|A|}{t^m}\right)
\end{eqnarray*}$$
  因此,$t \to +\infty$时
$$\det (tE+A) \to +\infty$$
  利用上述结果可知当$t$充分大之后
$$(tE+A)\left\{\begin{array}{*{20}{c}}
{1}\\
{1}
\end{array}\right\}=t+a_{11}>0$$
$$\left\{ \begin{array}{l}
(tE+A)\left\{\begin{array}{*{20}{c}}
{1}&{2}\\
{1}&{2}
\end{array}\right\}=\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{t+a_{11}}&{a_{12}}\\
{a_{21}}&{t+a_{22}}
\end{array}} \right|>0\\
\cdots\\
(tE+A)\left\{\begin{array}{*{20}{c}}
{1}&{2}&{\cdots}&{n}\\
{1}&{2}&{\cdots}&{n}
\end{array}\right\}=|tE+A|>0
\end{array} \right.$$
  因此,$tE+A$为正定矩阵。
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