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[已解决] 蓝以中上册 双线性函数与二次型 345页 习题一20 解答

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发表于 2016-6-27 22:39:37 | 显示全部楼层 |阅读模式
习题一20:
  设$V$是数域$K$上的线性空间,$f(\alpha)$,$g(\alpha)$是$V$内两个线性函数,且
$$f(\alpha)g(\alpha)=0$$
  证明
$$f(\alpha) \equiv 0$$
  或
$$g(\alpha) \equiv 0$$



解:
  设存在
$$\alpha_0 \in V$$
  使
$$f(\alpha_0) \ne 0$$
  因为
$$f(\alpha_0)g(\alpha_0)=0$$
  故
$$g(\alpha_0)=0$$
  对任意$\beta \in V$,我们有
$$\begin{eqnarray*}
0&=&f(\alpha_0+\beta)g(\alpha_0+\beta)=(f(\alpha_0)+f(\beta))(g(\alpha_0)+g(\beta))\\
&=&f(\alpha_0)g(\beta)+f(\beta)g(\beta)=f(\alpha_0)g(\beta)
\end{eqnarray*}$$
  已知
$$f(\alpha_0) \ne 0$$
  由上式推出
$$g(\beta)=0$$
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