请选择 进入手机版 | 继续访问电脑版

数学之家

建站
数学爱好者的家园
 找回密码
 注册

QQ登录

只需一步,快速开始

查看: 378|回复: 0

[已解决] 裴礼文 级数 535页 练习5.2.18 解答

[复制链接]
发表于 2016-4-24 22:38:56 | 显示全部楼层 |阅读模式
练习5.2.18:

  试证:$\forall \alpha: 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$,函数项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}x^n\left(1-\frac{2x}{\pi}\right)^n\tan^nx$在$[0,a]$上一致收敛。若记其和函数为$S(x)$,试证$\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}-0}S(x)=+\infty$。



解:
  记
$$f(x)=x\left(1-\frac{2x}{\pi}\right)\tan x$$
  可以证明$f(x)$在$\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$单调上升。
  为此令
$$g(x)=x\left(1-\frac{2x}{\pi}\right)-\cot x, x \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$$
  因为
$$g'(x)=\left(1-\frac{4x}{\pi}\right)+\csc^2x>0$$
  所以$g(x)$在$\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$单调上升
  从而
$$\forall x_1, x_2 \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$$
  当
$$x_1 < x_2$$
  时有:
$$x_1\left(1-\frac{2x_1}{\pi}\right)-\cot x_1 < x_2\left(1-\frac{2x_2}{\pi}\right)-\cot x_2$$
  或
$$\cot x_1 \left[ x_1\left(1-\frac{2x_1}{\pi}\right)\tan x_1-1 \right] < \cot x_2 \left[ x_2\left(1-\frac{2x_2}{\pi}\right)\tan x_2-1 \right]$$
  于是
$$x_1\left(1-\frac{2x_1}{\pi}\right)\tan x_1-1<\frac{\tan x_1}{\tan x_2}\left[ x_2\left(1-\frac{2x_2}{\pi}\right)\tan x_2-1 \right]$$
  此即
$$x_1\left(1-\frac{2x_1}{\pi}\right)\tan x_1<x_2\left(1-\frac{2x_2}{\pi}\right)\tan x_2$$
  又
$$\lim\limits_{x \to 0^+}f(x)=0,\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}-0}f(x)=1$$
  但已证$f(x)$在$\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$单调上升
  所以
$$f(x)<1, x \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$$
  特别对
$$\forall x \in [0,a]$$
$$f(x)=x\left(1-\frac{2x}{\pi}\right)\tan x \le f(a)=r<1\left(0<a<\frac{\pi}{2}\right)$$
  于是由$M$判别法,因为$\sum\limits_{n=1}^{\infty}r^n$收敛,所以$\sum\limits_{n=1}^{\infty}x^n\left(1-\frac{2x}{\pi}\right)^n\tan^nx$在$[0,a]$上一致收敛。
  又
$$S(x)=\frac{x\left(1-\frac{2x}{\pi}\right)\tan x}{1-x\left(1-\frac{2x}{\pi}\right)\tan x}>0(因为x\left(1-\frac{2x}{\pi}\right)\tan x<1)$$
  所以
$$\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}-0}S(x)=\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}-0}\frac{f(x)}{1-f(x)}+\infty$$
回复

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

QQ|网站统计|手机版|小黑屋|数学之家    

GMT+8, 2019-12-11 00:45 , Processed in 1.304733 second(s), 23 queries .

Powered by Discuz! X3.1

© 2001-2013 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表