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[已解决] 裴礼文 级数 478页 练习5.1.20 解答

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发表于 2016-4-21 23:34:17 | 显示全部楼层 |阅读模式
练习5.1.20:

  设$a_n>0$,$\sum a_n$收敛,$na_n$单调,证明:
$$\lim\limits_{n \to \infty}na_n\ln n=0$$



解:
  由$\sum a_n$收敛,$na_n$单调,可知$na_n$单调递减
$$\begin{eqnarray*}
\left|\sum\limits_{k=[\sqrt n]}^{n-1}a_k \right|&=&\left|\sum\limits_{k=[\sqrt n]}^{n-1}\frac{1}{k}\cdot ka_k \right|\\
&\ge&na_n\sum\limits_{k=[\sqrt n]}^{n-1}\frac{1}{k} \ge na_n\sum\limits_{k=[\sqrt n]}^{n-1}\int_k^{k+1}\frac{1}{x}dx\\
&=&na_n\int_{[\sqrt n]}^n\frac{1}{x}dx \ge na_n\int_{\sqrt n}^n\frac{1}{x}dx=\frac{1}{2}na_n\ln n \\
\end{eqnarray*}$$
  又由$Cauchy$收敛原理,$\forall \epsilon>0$,$\exists N>0$,$\forall n>N$
$$\left|\sum\limits_{k=[\sqrt n]}^{n-1}a_k \right|  < \frac{\epsilon}{2}$$
  于是
$$\lim\limits_{n \to \infty}na_n\ln n=0$$
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