裴礼文 一元积分学 393页 练习4.4.4 解答

castelu

练习4.4.4：

　　设$f(x)$在$[a,b]$上连续可微（$0<a<b$），$f(a)=f(b)=0$，$\int_a^b f^2(x)dx=1$。试证：
$$\int_a^b x^2f'^2(x)dx \ge \frac{1}{4}$$

---

解：
$$\begin{eqnarray*}
1&=&\left[\int_a^bf^2(x)dx\right]^2\\
&=&\left[-2\int_a^bxf'(x)f(x)dx\right]^2\\
&<&4\int_a^bf^2(x)dx\cdot\int_a^bx^2f'^2(x)dx\\
&=&4\int_a^bx^2f'^2(x)dx
\end{eqnarray*}$$