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[已解决] 裴礼文 一元积分学 366页 练习4.3.11 解答

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发表于 2016-4-12 23:10:24 | 显示全部楼层 |阅读模式
练习4.3.11:

  函数$f(x)$在$[a,b]$上连续,并且对于任何区间$[\alpha,\beta](a \le \alpha < \beta \le b)$,不等式
$$\left| \int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx \right| \le M|\beta-\alpha|^{1+\delta}(M, \delta是正常数)$$
  成立。证明:在$[a,b]$上,$f(x) \equiv 0$。



解:
  令
$$F(x)=\int_a^x f(t)dt$$
  那么
$$|F(\beta)-F(\alpha)| \le M|\beta-\alpha|^{1+\delta}$$
  由于$f(x)$连续,所以$F(x)$可导
$$|F'(\alpha)|=|f(\alpha)|=\lim\limits_{\beta \to \alpha}\left| \frac{F(\beta)-F(\alpha)}{\beta-\alpha} \right| \le M\lim\limits_{\beta \to \alpha}|\beta-\alpha|^{\delta}=0$$
  故$F'(\alpha)=0$,根据$\alpha$的任意性,$F'(x) \equiv 0$,$\forall x \in [\alpha,\beta]$,于是$f(x) \equiv 0$。
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