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[已解决] 裴礼文 一元函数极限 109页 练习1.6.7 解答

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发表于 2016-4-1 23:02:49 | 显示全部楼层 |阅读模式
练习1.6.7:

  给定正数序列$\left\{a_n\right\}$,证明
$$\overline{\lim\limits_{n \to \infty}}\left(\frac{a_1+a_{n+1}}{a_n}\right)^n \ge e$$



解:

  反证法,假设
$$\overline{\lim\limits_{n \to \infty}}\left(\frac{a_1+a_{n+1}}{a_n}\right)^n < e$$
  故
$$\exists N \in N$$
  当
$$n \ge N$$
  时,有
$$\left(\frac{a_1+a_{n+1}}{a_n}\right)^n\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n} < 1$$
  即
$$\frac{a_1+a_{n+1}}{a_n}<1+\frac{1}{n}=\frac{n+1}{n}$$
  故
$$\frac{a_1+a_{n+1}}{n+1}<\frac{a_n}{n}$$
  由此得出,当
$$m>n \ge N$$
  时,有
$$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{a_n}{n}-\frac{a_{n+1}}{n+1} > \frac{a_1}{n+1}\\
\cdots\\
\frac{a_m}{m}-\frac{a_{m+1}}{m+1} > \frac{a_1}{m+1}
\end{array} \right.$$
  将上述各式相加得到
$$\frac{a_n}{n}>\frac{a_n}{n}-\frac{a_{m+1}}{m+1}>a_1\left(\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{m+1}\right)$$
  在上式中,固定
$$n \ge N$$
  令右边不小于$n$的$m$取得任意大可看出,右边的关于$m$的数列无上界
  这与该数列以固定数
$$\frac{a_n}{n}$$
  为上界矛盾
  或者,在不等式两边令
$$m \to +\infty$$
  得到
$$+\infty > \frac{a_n}{n} \ge +\infty$$
  矛盾。
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