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[已解决] 裴礼文 一元函数极限 96页 练习1.5.26 解答

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发表于 2016-3-30 22:47:13 | 显示全部楼层 |阅读模式
练习1.5.26:

  设$a_1=1$,$a_k=k(a_{k-1}+1)$,试计算:
$$\lim\limits_{n \to \infty}\prod\limits_{k=1}^n\left(1+\frac{1}{a_k}\right)$$



解:

  根据递推公式,可知
$$a_n=n!\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!}$$
  而
$$
\begin{eqnarray*}
\prod\limits_{k=1}^n\left(1+\frac{1}{a_k}\right)&=&\frac{1+a_1}{a_1}\cdot\frac{1+a_2}{a_2}\cdot\cdots\cdot\frac{1+a_n}{a_n}\\
&=&\frac{1+a_1}{a_1}\cdot\frac{1+a_2}{2(1+a_1)}\cdot\cdots\cdot\frac{1+a_n}{n(1+a_{n-1})}\\
&=&\frac{1+a_n}{n!}\\
&=&\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\\
\end{eqnarray*}
$$
  所以
$$\lim\limits_{n \to \infty}\prod\limits_{k=1}^n\left(1+\frac{1}{a_k}\right)=e$$

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