一道关于组合数倒数的极限题

castelu

题目：

$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\sum\limits_{k=1}^n \frac{n+1-k}{nC_n^k}$$

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解答：

由于
$$\sum\limits_{k=0}^n \frac{n+1-k}{nC_n^k}=\sum\limits_{k=0}^n \frac{k+1}{nC_n^k}=\frac{1}{2}\sum\limits_{k=0}^n \frac{n+2}{nC_n^k}=\frac{n+2}{2n}\sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{C_n^k}.$$
$$2<\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{C_n^k}=2+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{C_n^k}<2+\frac{2}{n}+\frac{n-3}{C_n^2}=2+\frac{2}{n}+\frac{2(n-3)}{n(n-1)}.$$

根据$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}2=2$以及$\displaystyle\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left(2+\frac{2}{n}+\frac{2(n-3)}{n(n-1)}\right)=2$，由迫敛性可知
$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\sum\limits_{k=0}^n \frac{n+1-k}{nC_n^k}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{n+2}{n}=1.$$

从而
$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\sum\limits_{k=1}^n \frac{n+1-k}{nC_n^k}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left(\sum\limits_{k=0}^n \frac{n+1-k}{nC_n^k}-\frac{n+1}{n}\right)=0.$$