蓝以中上册 双线性函数与二次型 365页 习题三3 解答

castelu

习题三3：
　　证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是：它的秩等于$2$，而符号差为零，或其秩为$1$。

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解：
　　必要性
　　设
$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=(a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n)(b_1x_1+b_2x_2+\cdots+b_nx_n)$$
　　若两个一次多项式的系数成比例，即
$$b_i=ka_i(i=1,2,\cdot,n)$$
　　不妨设
$$a_1 \ne 0$$
　　作非退化线性替换
$$\left\{ \begin{array}{l}
y_1=a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n\\
y_2=x_2\\
\cdots\\
y_n=x_n
\end{array} \right.$$
　　则
$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=ky_1^2$$
　　即二次型
$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$$
　　的秩为$1$
　　若两个一次多项式系数不成比例，不妨设
$$\frac{a_1}{b_1} \ne \frac{a_2}{b_2}$$
　　作非退化线性替换
$$\left\{ \begin{array}{l}
y_1=a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n\\
y_2=b_1x_1+b_2x_2+\cdots+b_nx_n\\
y_3=x_3\\
\cdots\\
y_n=x_n
\end{array} \right.$$
　　则
$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=y_1y_2$$
　　再做非退化线性替换
$$\left\{ \begin{array}{l}
y_1=z_1+z_2\\
y_2=z_1-z_2\\
y_3=z_3\\
\cdots\\
y_n=z_n
\end{array} \right.$$
　　则
$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=z_1^2-z_2^2$$
　　故二次型
$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$$
　　的秩为$2$，符号差为零
　　充分性
　　设
$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$$
　　的秩为$1$，则存在非退化线性替换
$$X=PY$$
　　使
$$\begin{eqnarray*}
f(x_1,x_2,\cdots,x_n)&=&ky_1^2=k(a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n)^2\\
&=&(a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n)(ka_1x_1+ka_2x_2+\cdots+ka_nx_n)
\end{eqnarray*}$$
　　设
$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$$
　　的秩为$2$，且符号差为$0$，则存在非退化线性替换
$$X=TY$$
　　使
$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=y_1^2-y_2^2=(y_1+y_2)(y_1-y_2)$$
　　其中
$$y_1,y_2$$
　　均为
$$x_1,x_2,\cdots,x_n$$
　　的一次齐次多项式，即
$$y_1=a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n$$
$$y_2=b_1x_1+b_2x_2+\cdots+b_nx_n$$
　　故
$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$$
　　可表示成两个一次齐次多项式的乘积。