裴礼文 一元函数极限 96页 练习1.5.26 解答

castelu

练习1.5.26：

　　设$a_1=1$，$a_k=k(a_{k-1}+1)$，试计算：
$$\lim\limits_{n \to \infty}\prod\limits_{k=1}^n\left(1+\frac{1}{a_k}\right)$$

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解：

　　根据递推公式，可知
$$a_n=n!\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!}$$
　　而
$$
\begin{eqnarray*}
\prod\limits_{k=1}^n\left(1+\frac{1}{a_k}\right)&=&\frac{1+a_1}{a_1}\cdot\frac{1+a_2}{a_2}\cdot\cdots\cdot\frac{1+a_n}{a_n}\\
&=&\frac{1+a_1}{a_1}\cdot\frac{1+a_2}{2(1+a_1)}\cdot\cdots\cdot\frac{1+a_n}{n(1+a_{n-1})}\\
&=&\frac{1+a_n}{n!}\\
&=&\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\\
\end{eqnarray*}
$$
　　所以
$$\lim\limits_{n \to \infty}\prod\limits_{k=1}^n\left(1+\frac{1}{a_k}\right)=e$$