数列稍难题

castelu · 发表于 2008-3-4 20:15:02

稍难

战巡 · 发表于 2008-3-4 20:40:44

$\\displaystyle a_n=\\frac{3-a_{n-1}}{2}$
$\\displaystyle a_n-1=-\\frac{1}{2}(a_{n-1}-1)$
$\\displaystyle a_n=(-\\frac{1}{2})^{n-1}a_1+1$
$\\displaystyle 2a_n=3-a_{n-1}$
$\\displaystyle 3-2a_n=a_{n-1}$
$\\displaystyle b_n=a_n\\sqrt{a_{n-1}}$
而要证 $\\displaystyle b_n<b_{n+1}$
只要证 $\\displaystyle sqrt{a_na_{n-1}}<a_{n+1}$
$\\displaystyle sqrt{a_na_{n-1}}<\\frac{a_n+a_{n-1}}{2}=\\frac{1}{4}(-\\frac{1}{2})^{n-2}a_1+1=(-\\frac{1}{2})^na_1+1=a_{n+1}$
因此原式成立

[ 本帖最后由战巡于 2008-3-4 20:42 编辑 ]

castelu · 发表于 2008-3-4 20:49:36

a_n=(a₁-1)(-1/2)^n-1+1

这里似乎有出入

战巡 · 发表于 2008-3-4 21:01:48

嗯~~~疏忽了点...........
不过方法是一样的,那个a1是什么根本没有什么影响,只要保证根号里面的东西大于0就可以了

castelu · 发表于 2008-3-4 21:03:18

个人认为先确定a_n的范围,再将要求证的式子两边平方后再作差比较快

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