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切线、切平面

发布者: castelu | 发布时间: 2017-11-9 20:53| 查看数: 2063| 评论数: 0|帖子模式

定义1 如果直线$l$与二次曲面$S$有两个重合的交点或$l$在$S$上,则称$l$为$S$的切线,交点称为切点

  设直线$l$过点$M_0(x_0,y_0,z_0) \in S$,方向为$X$:$Y$:$Z$,则$l$与$S$有两个重合的交点当且仅当
$$\left\{ \begin{array}{l}
\Phi(X,Y,Z) \ne 0,\\
XF_1(x_0,y_0,z_0)+YF_2(x_0,y_0,z_0)+ZF_3(x_0,y_0,z_0)=0.
\end{array} \right.$$
  $l$在$S$上当且仅当
$$\left\{ \begin{array}{l}
\Phi(X,Y,Z)=0,\\
XF_1(x_0,y_0,z_0)+YF_2(x_0,y_0,z_0)+ZF_3(x_0,y_0,z_0)=0.
\end{array} \right.$$
  故经过$M_0 \in S$的直线$l$是$S$的切线当且仅当
$$XF_1(x_0,y_0,z_0)+YF_2(x_0,y_0,z_0)+ZF_3(x_0,y_0,z_0)=0。$$
(1)$F_i(x,y,z)$($i=1,2,3$)不全为零
  由直线$l$的方程
$$\left\{ \begin{array}{l}
x=x_0+tX,\\
y=y_0+tY,\\z=z_0+tZ.
\end{array} \right.$$
  有$X$:$Y$:$Z$$=$$(x-x_0)$:$(y-y_0)$:$(z-z_0)$,将此代入
$$XF_1(x_0,y_0,z_0)+YF_2(x_0,y_0,z_0)+ZF_3(x_0,y_0,z_0)=0$$
  得
$$(x-x_0)F_1(x_0,y_0,z_0)+(y-y_0)F_2(x_0,y_0,z_0)+(z-z_0)F_3(x_0,y_0,z_0)=0。$$
  上式表示一个平面,即过点$M_0 \in S$的所有切线上的点构成一个平面。

定义2 二次曲面$S$上一点处的所有切线上的点构成的平面称为$S$的切平面,此点称为切点
(2)$F_i(x,y,z)=0$($i=1,2,3$)
  此时
$$XF_1(x_0,y_0,z_0)+YF_2(x_0,y_0,z_0)+ZF_3(x_0,y_0,z_0)=0$$
  成为恒等式,它对任何方向都满足,故过点$M_0$的任何一条直线都是$S$的切线。

定义3 若过点$M_0 \in S$的每一条直线都是$S$的切线,则称点$M_0$是$S$的奇异点。$S$的非奇异点,称为$S$的正常点

  由以上的讨论知道以下命题。

命题
(1)正常点处有唯一的切平面,方程为
$$(x-x_0)F_1(x_0,y_0,z_0)+(y-y_0)F_2(x_0,y_0,z_0)+(z-z_0)F_3(x_0,y_0,z_0)=0。$$
(2)$M_0$为奇异点当且仅当$F_i(x_0,y_0,z_0)=0$,$i=1,2,3,4$。

  如果$M_0 \notin S$,则过$M_0$的切线$l$不可能在$S$上,故过$M_0$的直线$l$为$S$的切线当且仅当
$$\left\{ \begin{array}{l}
\Phi(X,Y,Z) \ne 0,\\
[XF_1(x_0,y_0,z_0)+YF_2(x_0,y_0,z_0)+ZF_3(x_0,y_0,z_0)]^2-\Phi(X,Y,Z)F(x_0,y_0,z_0)=0.\end{array} \right.$$
  对切线$l$上的任意点$(x,y,z)$都有
$$(x-x_0):(y-y_0):(z-z_0)=X:Y:Z,$$
  将之代入上式中得
$$[(x-x_0)F_1(x_0,y_0,z_0)+(y-y_0)F_2(x_0,y_0,z_0)+(z-z_0)F_3(x_0,y_0,z_0)]^2-\Phi(x-x_0,y-y_0,z-z_0)F(x_0,y_0,z_0)=0,$$
  它是关于$x-x_0$,$y-y_0$,$z-z_0$的二次齐次方程,即表示以$M_0$为顶点的二次锥面,称为$S$的切锥

定义4 若过$M_0 \in S$的直线$l$与$M_0$处的切平面垂直,则称直线$l$为$S$在$M_0$处的法线

  由此定义得法线方程
$$\frac{x-x_0}{F_1(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y-y_0}{F_2(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z-z_0}{F_3(x_0,y_0,z_0)}。$$
  对二次曲线$\Gamma$而言,切线、法线、正常点、奇异点同样地定义。过点$M_0(x_0,y_0)  \in \Gamma$,方向向量为$X$:$Y$的直线为$\Gamma$的切线当且仅当
$$XF_1(x_0,y_0)+YF_2(x_0,y_0)=0。$$
  由此得切线方程为
$$(x-x_0)F_1(x_0,y_0)+(y-y_0)F_2(x_0,y_0)=0。$$
  法线方程为
$$\frac{x-x_0}{F_1(x_0,y_0)}=\frac{y-y_0}{F_2(x_0,y_0)}。$$
  过曲线$\Gamma$外的一点$M_0$的直线为$\Gamma$的切线当且仅当
$$\left\{ \begin{array}{l}
\Phi(X,Y) \ne 0,\\
[XF_1(x_0,y_0)+YF_2(x_0,y_0)]^2-\Phi(X,Y)F(x_0,y_0)=0.\end{array} \right.$$
  因而切线上的点$(x,y)$满足
$$[(x-x_0)F_1(x_0,y_0)+(y-y_0)F_2(x_0,y_0)]^2-\Phi(x-x_0,y-y_0)F(x_0,y_0)=0。$$
  上式的左端是$x-x_0$,$y-y_0$的二次齐次多项式或零多项式。若为前者,当它可以分解为两个实系数一次因式的乘积时,便得到过$M_0$的两条直线,如果这两条直线的方向为非渐近方向,则它们是过$M_0$的$\Gamma$的切线;如果这两条直线的方向是渐近方向,则过$M_0$的$\Gamma$的切线不存在。当它在实数范围内不能分解时,则过$M_0$没有$\Gamma$的实切线;若为后者,则过$M_0$的沿非渐近方向的任意直线均为$\Gamma$的切线。

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