Vandermonde行列式

castelu

　　行列式
$$d= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&1&1\\ a_1&a_2&a_3&\cdots&a_n\\ a_1^2&a_2^2&a_3^2&\cdots&a_n^2\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_1^{n-1}&a_2^{n-1}&a_3^{n-1}&\cdots&a_n^{n-1} \end{array}} \right| $$
　　称为$n$级的Vandermonde行列式，对任意的$n$（$n \ge 2$），$n$级Vandermonde行列式等于$a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$这$n$个数的所有可能的差$a_i-a_j$（$1 \le j < i \le n$）的乘积，结果可以简写为
$$d= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&1&1\\ a_1&a_2&a_3&\cdots&a_n\\ a_1^2&a_2^2&a_3^2&\cdots&a_n^2\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_1^{n-1}&a_2^{n-1}&a_3^{n-1}&\cdots&a_n^{n-1} \end{array}} \right| =\prod\limits_{1 \le j < i \le n} (a_i-a_j)。$$
　　Vandermonde行列式为零的充分必要条件是$a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$这$n$个数当中至少有两个相等。