设$D$为$xy$平面上可求面积的有界闭区域，$f(x,y)$为定义在$D$上的函数。用任意的曲线把$D$分成$n$个可求面积的小区域
$$\sigma_1，\sigma_2，\cdots，\sigma_n。$$
　　以$\Delta \sigma_i$表示小区域$\sigma_i$的面积，这些小区域构成$D$的一个分割$T$，以$d_i$表示小区域$\sigma_i$的直径，称$||T||=\max\limits_{i \le i \le n}d_i$为分割$T$的细度。在每个$\sigma_i$上任取一点$(\xi_i,\eta_i)$，作和式
$$\sum\limits_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i) \Delta \sigma_i。$$
　　称它为函数$f(x,y)$在$D$上属于分割$T$的一个积分和。

定义　设$f(x,y)$是定义在可求面积的有界闭区域$D$上的函数。$J$是一个确定的数，若对任给的正数$\epsilon$，总存在某个正数$\delta$，使对于$D$的任何分割$T$，当它的细度$|||T||<\delta$时，属于$T$的所有积分和都有
$$|\sum\limits_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i) \Delta \sigma_i-J|<\epsilon，$$
　　则称$f(x,y)$在$D$上可积，数$J$称为函数$f(x,y)$在$D$上的二重积分，记作
$$J=\iint\limits_D f(x,y)d\sigma，$$
　　其中$f(x,y)$称为二重积分的被积函数，$x$，$y$称为积分变量，$D$称为积分区域。
　　当$f(x,y) \ge 0$时，二重积分$\iint_D f(x,y)d\sigma$在几何上就表示以$z=f(x,y)$为曲顶，$D$为底的曲顶柱体的体积。当$f(x,y)=1$时，二重积分$\iint\limits_D f(x,y)d\sigma$的值就等于积分区域$D$的面积。
　　由二重积分定义知道，若$f(x,y)$在区域$D$上可积，则与定积分情况一样，对任何分割$T$，只要当$||T||<\delta$时，
$$|\sum\limits_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i) \Delta \sigma_i-J|<\epsilon$$
　　都成立。因此为方便计算起见，常选取一些特殊的分割方法，如选用平行于坐标轴的直线网来分割$D$，则每一小网眼区域$\sigma$的面积$\Delta \sigma=\Delta x \Delta y$。此时通常把$\iint\limits_D f(x,y)d\sigma$记作
$$\iint\limits_D f(x,y)dxdy。$$
　　首先可以像定积分那样类似地证明函数$f(x,y)$在有界可求面积区域$D$上可积的必要条件是它在$D$上有界。
　　设函数$f(x,y)$在$D$上有界，$T$为$D$的一个分割，它把$D$分成$n$个可求面积的小区域$\sigma_1$，$\sigma_2$，$\cdots$，$\sigma_n$。令
$$M_i=\sup\limits_{(x,y) \in \sigma_i} f(x,y)，$$
$$m_i=\inf\limits_{(x,y) \in \sigma_i} f(x,y)，（i=1,2,\cdots,n）。$$
　　作和式$S(T)=\sum\limits_{i=1}^n M_i \Delta \sigma_i$，$s(T)=\sum\limits_{i=1}^n m_i \Delta \sigma_i$。
　　它们分别称为函数$f(x,y)$关于分割$T$的上和与下和。二元函数的上和与下和具有与一元函数的上和与下和同样的性质，这里就不再重复。下面列出有关二元函数的可积性定理。

定理1　$f(x,y)$在$D$上可积的充要条件是：
$$\lim\limits_{||T|| \rightarrow 0}S(T)=\lim\limits_{||T|| \rightarrow 0}s(T)。$$

定理2　$f(x,y)$在$D$上可积的充要条件是：对于任给的正数$\epsilon$，存在$D$的某个分割$T$，使得$S(T)-s(T)<\epsilon$。

定理3　有界闭区域$D$上的连续函数必可积。

定理4　设$f(x,y)$是定义在有界闭区域$D$上的有界函数。若$f(x,y)$的不连续点都落在有限条光滑曲线上，则$f(x,y)$在$D$上可积。

　　二重积分具有一系列与定积分完全相类似的性质，现列举如下：
1、若$f(x,y)$在区域$D$上可积，$k$为常数，则$kf(x,y)$在$D$上也可积，且
$$\iint\limits_D kf(x,y)d\sigma=k\iint\limits_D f(x,y)d\sigma。$$
2、若$f(x,y)$，$g(x,y)$在$D$上都可积，则$f(x,y) \pm g(x,y)$在$D$上也可积，且
$$\iint\limits_D [f(x,y) \pm g(x,y)]d\sigma=\iint\limits_D f(x,y)d\sigma \pm \iint\limits_D g(x,y)d\sigma。$$
3、若$f(x,y)$在$D_1$和$D_2$上都可积，且$D_1$与$D_2$无公共内点，则$f(x,y)$在$D_1 \cup D_2$上也可积，且
$$\iint\limits_{D_1 \cup D_2} f(x,y)d\sigma=\iint\limits_{D_1} f(x,y)d\sigma+\iint\limits_{D_2} f(x,y)d\sigma。$$
4、若$f(x,y)$与$g(x,y)$在$D$上可积，且
$$f(x,y) \le g(x,y)，(x,y) \in D，$$
　　则
$$\iint\limits_D f(x,y)d\sigma \le \iint\limits_D g(x,y)d\sigma。$$
5、若$f(x,y)$在$D$上可积，则函数$|f(x,y)|$在$D$上也可积，且
$$|\iint\limits_D f(x,y)d\sigma| \le \iint\limits_D |f(x,y)|d\sigma。$$
6、若$f(x,y)$在$D$上可积，且
$$m \le f(x,y) \le M，(x,y) \in D，$$
　　则
$$mS_D \le \iint\limits_D f(x,y)d\sigma \le MS_D，$$
　　这里$S_D$是积分区域$D$的面积。
7.（中值定理）　若$f(x,y)$在有界闭区域$D$上连续，则存在$(\xi,\eta) \in D$，使得
$$\iint\limits_D f(x,y)d\sigma=f(\xi,\eta)S_D，$$
　　这里$S_D$是积分区域$D$的面积。
　　中值定理的几何意义：以$D$为底，$z=f(x,y)$（$f(x,y) \ge 0$）为曲顶的曲顶柱体体积等于一个同底的平顶柱体的体积，这个平顶柱体的高等于$f(x,y)$在区域$D$中某点$(\xi,\eta)$的函数值$f(\xi,\eta)$。

　　讨论定义在矩形区域$D=[a,b] \times [c,d]$上二重积分计算问题，然后再把它扩展到较为一般的区域上。

定理5　设$f(x,y)$在矩形区域$D=[a,b] \times [c,d]$上可积，且对每个$x \in [a,b]$，积分$\int_c^d f(x,y)dy$存在，则累次积分
$$\int_a^b dx \int_c^d f(x,y)dy$$
　　也存在，且
$$\iint\limits_D f(x,y)d\sigma=\int_a^b dx \int_c^d f(x,y)dy。$$

定理6　设$f(x,y)$在矩形区域$D=[a,b] \times [c,d]$上可积，且对每个$y \in [c,d]$，积分$\int_a^b f(x,y)dx$存在，则累次积分
$$\int_c^d dy \int_a^b f(x,y)dx$$
　　也存在，且
$$\iint\limits_D f(x,y)d\sigma=\int_c^d dy \int_a^b f(x,y)dx。$$

　　对于一般区域，通常可以分解为如下两类区域来进行计算。
　　称平面点集
$$D=\left\{(x,y)|y_1(x) \le y \le y_2(x),a \le x \le b \right\}$$
　　为$x$型区域；称平面点集
$$D=\left\{(x,y)|x_1(y) \le x \le x_2(y),c \le y \le d \right\}$$
　　为$y$型区域。
　　这些区域的特点是当$D$为$x$型区域时，垂直于$x$轴的直线$x=x_0$（$a<x_0<b$）至多与区域$D$的边界交于两点；当$D$为$y$型区域时，直线$y=y_0$（$c<y_0<d$）至多与$D$的边界交于两点。
　　许多常见的区域都可以分解成有限个除边界外无公共内点的$x$型区域或$y$型区域。因而解决了$x$型区域或$y$型区域上二重积分的计算问题，那么一块区域上二重积分的计算问题也就得到了解决。

定理7　若$f(x,y)$在如
$$D=\left\{(x,y)|y_1(x) \le y \le y_2(x),a \le x \le b \right\}$$
　　所示的$x$型区域$D$上连续，其中$y_1(x)$，$y_2(x)$在$[a,b]$上连续，则
$$\iint\limits_D f(x,y)d\sigma=\int_a^b dx \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y)dy。$$
　　即二重积分可化为先对$y$，后对$x$的累次积分。

　　若$f(x,y)$在如
$$D=\left\{(x,y)|x_1(y) \le x \le x_2(y),c \le y \le d \right\}$$
　　所示的$y$型区域$D$上连续，其中$x_1(x)$，$x_2(x)$在$[c,d]$上连续，则
$$\iint\limits_D f(x,y)d\sigma=\int_c^d dy \int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x,y)dx。$$
　　即二重积分可化为先对$x$，后对$y$的累次积分。

引理　设变换$T$：$x=x(u,v)$，$y=y(u,v)$将$uv$平面上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域$\Delta$，一对一地映成$xy$平面上的闭区域$D$，函数$x(u,v)$，$y(u,v)$在$\Delta$内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式
$$J(u,v)=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} \ne 0，(u,v) \in \Delta，$$
　　则区域$D$的面积
$$\mu(D)=\iint\limits_{\Delta} |J(u,v)|dudv。$$

定理8　设$f(x,y)$在有界闭区域$D$上可积，变换$T$：$x=x(u,v)$，$y=y(u,v)$将$uv$平面由按段光滑封闭曲线所围的闭区域$\Delta$一对一地映成$xy$平面上的闭区域$D$，函数$x(u,v)$，$y(u,v)$在$\Delta$内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式
$$J(u,v)=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} \ne 0，(u,v) \in \Delta，$$
　　则
$$\iint\limits_D f(x,y)dxdy=\iint\limits_\Delta f(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|dudv。$$

　　当积分区域是圆域或圆域的一部分，或者被积函数的形式为$f(x^2+y^2)$时，采用极坐标变换
$$T:\left\{ \begin{array}{l} x=r\cos\theta\\ y=r\sin\theta \end{array} \right.，0 \le r < +\infty，0 \le \theta \le 2\pi，$$
　　往往能达到简化积分区域或被积函数的目的。此时，变换$T$的函数行列式为
$$J(r,\theta)= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \cos\theta&-r\sin\theta\\ \sin\theta&r\cos\theta \end{array}} \right|=r。$$
　　容易知道，极坐标变换$T$把$r\theta$平面上的矩形$[0,R] \times [0,2\pi]$变换成$xy$平面上的圆域$D=\left\{(x,y)|x^2+y^2 \le R^2 \right\}$。但对应不是一对一的。例如，$xy$平面上原点$O(0,0)$与$r\theta$平面上直线$r=0$相对应，$x$轴上线段对应于$r\theta$平面上两条线段。又当$r=0$时，$J(r,\theta)=0$，因此不满足定理8的条件。但是，我们仍然有下面的结论。

定理9　设$f(x,y)$满足定理8的条件，但在极坐标变换
$$T:\left\{ \begin{array}{l} x=r\cos \theta\\ y=r\sin \theta \end{array} \right.，0 \le r < +\infty，0 \le \theta \le 2\pi$$
　　下，$xy$平面上有界闭区域$D$与$r\theta$平面上区域$\Delta$对应，则成立
$$\iint\limits_D f(x,y)dxdy=\iint\limits_{\Delta} f(r\cos \theta,r\sin \theta)rdrd\theta。$$

　　由定理9看到，用极坐标变换计算二重积分，除变量作相应的替换外，还须把“面积微元”$dxdy$换成$rdrd\theta$。
　　下面介绍二重积分在极坐标系下如何化为累次积分计算。
（i）若原点$O \notin D$，且$xy$平面上射线$\theta$为常数与$D$的边界至多交于两点，则$\Delta$必可表示成
$$r_1(\theta) \le r \le r_2(\theta)，\alpha \le \theta \le \beta，$$
　　于是有
$$\iint\limits_Df(x,y)dxdy=\int_{\alpha}^{\beta} d\theta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r\cos \theta,r\sin \theta)rdr。$$
　　类似地，若$xy$平面上的圆$r$为常数与$D$的边界至多交于两点，则$\Delta$必可表示成
$$\theta_1(r) \le \theta \le \theta_2(r)，r_1 \le r \le r_2，$$
　　所以
$$\iint\limits_Df(x,y)dxdy=\int_{r_1}^{r_2} rdr \int_{\theta_1(r)}^{\theta_2(r)} f(r\cos \theta,r\sin \theta)d\theta。$$
（ii）若原点为$D$的内点，$D$的边界的极坐标方程为$r=r(\theta)$，则$\Delta$可表示成
$$0 \le r \le r(\theta)，0 \le \theta \le 2\pi。$$
　　所以
$$\iint\limits_Df(x,y)dxdy=\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{r(\theta)} f(r\cos \theta,r\sin \theta)rdr。$$
（iii）若原点$O$在$D$的边界上，则$\Delta$为
$$0 \le r \le r(\theta)，\alpha \le \theta \le \beta，$$
　　于是
$$\iint\limits_Df(x,y)dxdy=\int_{\alpha}^{\beta} d\theta \int_0^{r(\theta)} f(r\cos \theta,r\sin \theta)rdr。$$