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复合函数微分法

发布者: castelu | 发布时间: 2017-11-8 22:57| 查看数: 1414| 评论数: 0|帖子模式

  设函数
$$x=\phi(s,t)与y=\psi(s,t)$$
  定义在$st$平面的区域$D$上,函数
$$z=f(x,y)$$
  定义在$xy$平面的区域$D_1$上,且
$$\left\{(x,y)|x=\phi(s,t),y=\psi(s,t),(s,t) \in D \right\} \subset D_1,$$
  则函数
$$z=F(s,t)=f(\phi(s,t),\psi(s,t)),(s,t) \in D$$
  是以$z$为外函数,$x$、$y$为内函数的复合函数。其中$x$,$y$称为函数$F$的中间变量,$s$,$t$为函数的自变量。

定理 若函数$x=\phi(s,t)$,$y=\psi(s,t)$在点$(s,t) \in D$可微,$z=f(x,y)$在点$(x,y)=(\phi(s,t),\psi(s,t))$可微,则复合函数
$$z=f(\phi(s,t),\psi(s,t))$$
  在点$(s,t)$可微,且它关于$s$与$t$的偏导数分别为
$$\frac{\partial z}{\partial s}|_{(s,t)}=\frac{\partial z}{\partial x}|_{(x,y)}\frac{\partial x}{\partial s}|_{(s,t)}+\frac{\partial z}{\partial y}|_{(x,y)}\frac{\partial y}{\partial s}|_{(s,t)},$$$$\frac{\partial z}{\partial t}|_{(s,t)}=\frac{\partial z}{\partial x}|_{(x,y)}\frac{\partial x}{\partial t}|_{(s,t)}+\frac{\partial z}{\partial y}|_{(x,y)}\frac{\partial y}{\partial t}|_{(s,t)}。$$
  这里公式也称为链式法则。

注意 如果只是求复合函数$f(\phi(s,t),\psi(s,t))$关于$s$或$t$的偏导数,则定理中$x=\phi(s,t)$和$y=\psi(s,t)$只须具有关于$s$或$t$的偏导数就够了。

  一般地,若$f(u_1,\cdots,u_m)$在点$(u_1,\cdots,u_m)$可微,$u_k=g_k(x_1,\cdots,x_n)$($k=1,2,\cdots,m$),在点$(x_1,\cdots,x_n)$具有关于$x_i$($i=1,2,\cdots,n$)的偏导数,则复合函数
$$f(g_1(x_1,\cdots,x_n),g_2(x_1,\cdots,x_n),\cdots,g_m(x_1,\cdots,x_n))$$
  关于自变量$x_i$的偏导数是
$$\frac{\partial f}{\partial x_i}=\sum\limits_{k=1}^n \frac{\partial f}{\partial u_k} \frac{\partial u_k}{\partial x_i}(i=1,2,\cdots,n)。$$
  多元函数的复合函数求导一般比较复杂,必须特别注意复合函数中哪些是自变量,哪些是中间变量。只有这样才能正确使用链式法则求出结果。
  若以$x$和$y$为自变量的函数$z=f(x,y)$可微,则其全微分为
$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy。$$
  如果$x$,$y$作为中间变量又是自变量$s$,$t$的可微函数
$$x=\phi(s,t),y=\psi(s,t),$$
  由定理知道,复合函数$z=f(\phi(s,t),\psi(s,t))$是可微的,其全微分为
$$dz=\frac{\partial z}{\partial s}ds+\frac{\partial z}{\partial t}dt$$
$$=(\frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s})ds+(\frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t})dt$$
$$=\frac{\partial z}{\partial x}(\frac{\partial x}{\partial s}ds+\frac{\partial x}{\partial t}dt)+\frac{\partial z}{\partial y}(\frac{\partial y}{\partial s}ds+\frac{\partial y}{\partial t}dt)。$$
  由于$x$,$y$又是$(s,t)$的可微函数,因此同时有
$$dx=\frac{\partial x}{\partial s}ds+\frac{\partial x}{\partial t}dt,dy=\frac{\partial y}{\partial s}ds+\frac{\partial y}{\partial t}dt。$$
  代入上式,得到与以$x$和$y$为自变量的函数$z=f(x,y)$全微分完全相同的结果。这就是关于多元函数的一阶(全)微分形式不变性。
  必须指出,当$x$,$y$作为自变量时,$dx$和$dy$各自独立取值;当$x$,$y$作为中间变量时,$dx$和$dy$如上式所示,它们的值由$s$,$t$,$ds$,$dt$所确定。
  利用微分形式不变性,能更有条理地计算复杂函数的全微分。

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