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有界闭域上连续函数的性质

发布者: castelu | 发布时间: 2017-11-8 22:56| 查看数: 1139| 评论数: 0|帖子模式

定理1(有界性与最大、最小值定理) 若函数$f$在有界闭域$D \subset R^2$上连续,则$f$在$D$上有界,且能取得最大值与最小值.

定理2(一致连续性定理) 若函数$f$在有界闭域$D \subset R^2$上连续,则$f$在$D$上一致连续.即对任何$\epsilon>0$,总存在只依赖于$\epsilon$的正数$\delta$,使得对一切点$P$、$Q$,只要$\rho(P,Q)<\delta$,就有$|f(P)-f(Q)|<\epsilon$。

定理3(介值性定理) 设函数$f$在有界闭域$D \subset R^2$上连续,若$P_1$,$P_2$为$D$中任意两点,且$f(P_1)<f(P_2)$,则对任何满足不等式
$$f(P_1)< \mu <f(P_2)$$
  的实数$\mu$,必存在点$P_0 \in D$,使得$f(P_0)=\mu$。

  实际上,定理1与定理2中的有界闭域$D$可以改为有界闭集。但是,介值性定理中所考察的点集$D$只能假设是一区域,这是为了保证它具有连通性,而一般的开集或闭集不一定具有这一特性。此外,由定理3可知,若$f$为区域$D$上的连续函数,则$f(D)$必定是一个区间(有限或无限)。

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