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旋转曲面的面积

发布者: castelu | 发布时间: 2017-11-8 22:08| 查看数: 1285| 评论数: 0|帖子模式

  设平面光滑曲线$C$的方程为
$$y=f(x),x \in [a,b](不妨设f(x) \ge 0)。$$
这段曲线绕$x$轴旋转一周得到旋转曲面。下面用微元法导出它的面积公式。
  通过$x$轴上点$x$与$x+\Delta x$分别作垂直于$x$轴的平面,它们在旋转曲面上截下一条狭带。当$\Delta x$很小时,此狭带的面积近似于一圆台的侧面积,即
$$\Delta S= \pi[f(x)+f(x+\Delta x)] \sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$$
$$=\pi[2f(x)+\Delta y] \sqrt{1+(\frac{\Delta y}{\Delta x})^2} \Delta x,$$
  其中$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$。由于
$$\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \Delta y=0,\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \sqrt{1+(\frac{\Delta y}{\Delta x})^2}=\sqrt{1+f'^2(x)},$$
  因此由$f'(x)$的连续性可以保证
$$\pi[2f(x)+\Delta y] \sqrt{1+(\frac{\Delta y}{\Delta x})^2} \Delta x-2 \pi f(x) \sqrt{1+f'^2(x)} \Delta x=o(\Delta x)。$$
  所以得到
$$dS=2 \pi f(x) \sqrt{1+f'^2f(x)}dx,$$
$$S=2 \pi \int_a^b f(x) \sqrt{1+f'^2f(x)}dx。$$
  如果光滑曲线$C$由参数方程
$$x=x(t),y=y(t),t \in [\alpha,\beta]$$
  给出,且$y(t) \ge 0$,那么由弧微分知识推知曲线$C$绕$x$轴旋转所得旋转曲面的面积为
$$S=2 \pi \int_{\alpha}^{\beta} y(t) \sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}dt。$$

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