设$f$在$[a,b]$上可积，根据定积分的性质，对任何$x \in [a,b]$，$f$在$[a,x]$上也可积。于是，由
$$\Phi(x)= \int_a^x f(t)dt，x \in [a,b]$$
　　定义了一个以积分上限$x$为自变量的函数，称为变上限的定积分。类似地，又可定义变下限的定积分：
$$\Psi(x)= \int_x^b f(t)dt，x \in [a,b]。$$
　　$\Phi$与$\Psi$统称为变限积分。注意，在变限积分中，不可再把积分变量写成$x$（例如$\int_a^x f(x)dx$），以免与积分上、下限的$x$相混淆。
　　变限积分所定义的函数有着重要的性质。由于
$$\int_x^b f(t)dt=-\int_b^x f(t)dt，$$
　　因此下面只讨论变上限积分的情形。

定理　若$f$在$[a,b]$上可积，则函数$\Phi$（变上限的定积分）在$[a,b]$上连续。