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Newton-Leibniz公式

发布者: castelu | 发布时间: 2017-11-8 21:46| 查看数: 1916| 评论数: 0|帖子模式

定理 若函数$f$在$[a,b]$上连续,且存在原函数$F$,即$F'(x)=f(x)$,$x \in [a,b]$,则$f$在$[a,b]$上可积,且
$$\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)。$$
  这称为牛顿-莱布尼茨公式,它也常写成
$$\int_a^b f(x)dx=F(x)|_a^b。$$

注1 在应用牛顿-莱布尼茨公式时,$F(x)$可由积分法求得。

注2 定理条件尚可适当减弱,例如:
1)对$F$的要求可减弱为:在$[a,b]$上连续,在$(a,b)$内可导,且$F'(x)=f(x)$,$x \in (a,b)$。
2)对$f$的要求可减弱为:在$[a,b]$上可积(不一定连续)。

注3 证得连续函数必有原函数之后,本定理的条件中对$F$的假设便是多余的了。

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