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Cauchy中值定理

发布者: castelu | 发布时间: 2017-11-8 19:09| 查看数: 1778| 评论数: 0|帖子模式

定理(Cauchy中值定理) 设函数$f$和$g$满足
(i)在$[a,b]$上都连续;
(ii)在$(a,b)$内都可导;
(iii)$f'(x)$和$g'(x)$不同时为零;
(iv)$g(a) \ne g(b)$,
  则存在$\xi \in (a,b)$,使得
$$\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}。$$
  Cauchy中值定理有着与Rolle中值定理和Largrange中值定理相类似的几何意义。只是现在要把$f$,$g$这两个函数写作以$x$为参量的参量方程
$$\left\{ \begin{array}{l} u=g(x)\\ v=f(x)\end{array} \right.$$
  在$uOv$平面上表示一段曲线。由于上式右边的$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$表示连接该曲线两端的弦的斜率,而上式左边的
$$\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{dv}{du}|_{x = \xi}$$
  则表示该曲线上与$x = \xi$相对应的一点$(g(\xi),f(\xi)))$处的切线的斜率。因此上式即表示上述切线与弦互相平行。

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