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间断点

发布者: castelu | 发布时间: 2017-11-8 18:47| 查看数: 1307| 评论数: 0|帖子模式

定义 设函数$f$在某$U^\circ \left( x_0 \right)$内有定义。若$f$在点$x_0$无定义,或$f$在点$x_0$有定义而不连续,则称点$x_0$为函数$f$的间断点或不连续点。
  按此定义以及关于极限与连续性之间联系的讨论,若$x_0$为函数$f$的间断点,则必出现下列情形之一:
(i)$f$在点$x_0$无定义或极限$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f\left( x \right)$不存在;
(ii)$f$在点$x_0$有定义且极限$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f\left( x \right)$存在,但$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f\left( x \right) \ne f\left( x_0 \right)$。
  据此,我们对函数的间断点作如下分类:
1、可去间断点 若
$$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f\left( x \right) = A,$$
而$f$在点$x_0$无定义,或有定义但$f\left( x_0 \right) \ne A$,则称$x_0$为$f$的可去间断点。
2、跳跃间断点 若函数$f$在点$x_0$的左、右极限都存在,但
$$\lim\limits_{x \rightarrow x_0^+}f\left( x \right) \ne \lim\limits_{x \rightarrow x_0^-}f\left( x \right),$$
  则称点$x_0$为函数$f$的跳跃间断点。
  可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点。第一类间断点的特点是函数在该点处的左、右极限都存在。
3、第二类间断点 函数的所有其他形式的间断点,即使得函数至少有一侧极限不存在的那些点,称为第二类间断点。

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