定义1　设$f$为定义在$D$上的函数。若存在数$M\left( L \right)$，使得对每一个$x \in D$有
$$f\left( x \right) \le M \left( f\left( x \right) \ge L \right)，$$
　　则称$f$为$D$上的有上（下）界函数。$M\left( L \right)$称为$f$在$D$上的一个上（下）界。
　　根据定义，$f$在$D$上有上（下）界，意味着值域$f\left( D \right)$是一个有上（下）界的数集。又若$M\left( L \right)$为$f$在$D$上的上（下）界，则任何大于（小于）$M\left( L \right)$的数也是$f$在$D$上的上（下）界。

定义2　设$f$为定义在$D$上的函数。若存在正数$M$，使得对每一个$x \in D$有
$$\left| f(x) \right| \le M，$$
　　则称$f$为$D$上的有界函数。