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实数

发布者: castelu | 发布时间: 2017-11-8 17:49| 查看数: 954| 评论数: 0|帖子模式

  实数由有理数与无理数两部分组成。有理数可用分数形式$\frac{p}{q}(p$、$q$为整数,$q \ne 0)$表示,也可用有限十进小数或无限十进循环小数来表示;而无限十进不循环小数则称为无理数。有理数和无理数统称为实数。
  现定义两个实数的大小关系。

定义 给定两个非负实数
$$x = a_0.a_1a_2 \cdots a_n \cdots ,y = b_0.b_1b_2 \cdots b_n$$
  其中$a_0$,$b_0$为非负整数,$a_k$,$b_k\left( k=1,2,\cdots \right)$为整数,$0 \le a_k \le 9$,$0 \le b_k \le 9$。若有
$$a_k=b_k,k = 0,1,2,\cdots,$$
  则称$x$与$y$相等,记为$x=y$;若$a_0 > b_0$或存在非负整数$l$,使得
$$a_k=b_k\left( k = 0,1,2,\cdots,l \right)而a_{l+1} > b_{l+1},$$
  则称$x$大于$y$或$y$小于$x$,分别记为$x > y$或$y < x$。
  对于负实数$x$,$y$,若按上述规定分别有$-x=-y$与$-x >-y$,则分别称$x=y$与$x<y$。另外,自然规定任何非负实数大于任何负实数。

命题 设$x = a_0.a_1a_2 \cdots$与$y = b_0.b_1b_2 \cdots$为两个实数,则$x>y$的等价条件是:存在非负整数$n$,使得
$$x_n > \bar y_n$$
  其中$x_n$表示$x$的$n$位不足近似,$\bar y_n$表示$y$的$n$位过剩近似。


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